Olimpíadas ⇒ OBM-2008-Fase 3 - Nível 2

[luiseduardo]

Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que

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é um inteiro.

[John]

Notação: o símbolo [tex3]\dagger[/tex3] significa "não divide".

[Pequeno Teorema de Fermat]: Se [tex3]p[/tex3] é um número primo e [tex3]p \dagger a[/tex3], então [tex3]a^{p-1} \equiv 1 (mod p)[/tex3].

Seja [tex3]A[/tex3] o conjunto dos números primos que não contenha o número 5. Logo [tex3]A[/tex3] é infinito.

Seja [tex3]n=2k[/tex3], onde [tex3]k \in A[/tex3]. Então,

[tex3]\frac{5^{n-2} - 1}{n} = \frac{5^{2k} - 25}{25(2k)} = \frac{(5^k - 5)(5^k + 5)}{25(2k)} = \left(\frac{5^k - 5}{5k}\right)\left(\frac{5^k + 5}{2.5}\right) = \left(\frac{5^{k-1} - 1}{k}\right)\left(\frac{5^{k-1} + 1}{2}\right)[/tex3].


Note que [tex3]5^{k-1}[/tex3] é um número ímpar para qualquer [tex3]k \in A[/tex3], então [tex3]2 | (5^{k-1} + 1)[/tex3], ou seja, [tex3]\frac{5^{k-1} + 1}{2}[/tex3] é um número inteiro.

Por outro lado, se [tex3]k \in A[/tex3], então [tex3]k[/tex3] é primo e [tex3]k \dagger 5[/tex3] (pois [tex3]k \neq 5[/tex3]). Segue do Pequeno Teorema de Fermat que [tex3]k | (5^{k-1}-1)[/tex3]. Assim, [tex3]\frac{5^{k-1} - 1}{k}[/tex3] é inteiro.

Conclusão: [tex3]\frac{5^{n-2} - 1}{n}[/tex3] é um número inteiro para qualquer [tex3]n = 2k[/tex3], onde [tex3]k \in A[/tex3]. Portanto, existem infinitos naturais para que o quociente dado no enunciado seja inteiro.

Inté!!!

[luiseduardo]

Valeu cara