Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest - 1994/2ª Fase) Sistema Tópico resolvido

[Fisica12]

Considere o sistema
[tex3]\begin{cases} x - my = 1 - m \\ (1+m)x + y = 1\end{cases}[/tex3]

a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real [tex3]m[/tex3].
b) Determine [tex3]m[/tex3] para que o valor de [tex3]x[/tex3] seja o maior possível.

[Natan]

Olá,

[tex3]a)[/tex3]

o sistema terá solução única se o determinante principal for diferente de zero, então:

[tex3]\left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& -m \\
1+m &&& 1 \\

\end{array} \right] \neq 0 \Rightarrow m^2+m+1 \neq 0[/tex3]

que será sempre não nulo para todo [tex3]m\, \in\, \Re[/tex3] já que a equação acima não possui raízes reais.

[tex3]b)[/tex3]

Primeiro vamos por [tex3]m[/tex3] em função de [tex3]x.[/tex3]

na primeira equação do sistema:

[tex3]x-my=1-m \Rightarrow x=m(y-1)+1\, (I)[/tex3]

agora vamos por [tex3]y[/tex3] em função de [tex3]m[/tex3] usando a segunda equação:

[tex3](1+m)x+y=1 \Rightarrow y=1-(1+m)x[/tex3] substituindo em [tex3](I):[/tex3]

[tex3]x=m(1-(1+m)x-1)+1[/tex3] arrumando a agrupando chegaremos em:
[tex3]x=\frac{1-m^2}{1+m}[/tex3]

Para achar [tex3]m[/tex3] de modo que [tex3]x[/tex3] seja máximo vamos derivar a função de [tex3]m[/tex3] e igualar a zero:

[tex3]\frac{-2m(1+m-(1-m^2)}{(1+m)^2}=0 \\ -2m-2m^2-1+m^2=0 \Rightarrow m^2+2m+1=0\, \therefore\, m=-1[/tex3]

Fui!

[Fisica12]

Depois que você começou a derivar não entendi mais, isso cai na fuvest?
Queria saber como você mudou a primeira fração, e se m = -1, o [tex3]x[/tex3] na fração [tex3]x= \frac{1-m^{2}}{1+m}[/tex3] estaria dividindo por zero, que também não entendi. Se você puder me explicar ou passar algum site, obrigado.

[John]

Natan, acho que há erro nas contas..pois [tex3]x = \frac{1}{m^2 + m + 1}[/tex3].

Assim, [tex3]x[/tex3] será máximo quando [tex3]m^2 + m + 1[/tex3] for mínimo.

O menor valor da expressão [tex3]y = m^2 + m + 1[/tex3] é o [tex3]y[/tex3] do vértice e isso ocorre quando

[tex3]m = \frac{-b}{2a} = -\frac{1}{2}.[/tex3]

[jacobi]

Bem, eu vejo que deve ser resolvido pelo escalonamento.

Considere o sistema
[tex3]\begin{cases} x - my = 1 - m \\ (1+m)x + y = 1\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases} \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ - m \ \ 1 - m \\ (1+m) \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ -> L_2 - (1 + m).L_1\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases} 1 \ \ \ \ \ \ \ - m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 - m \\ 0 \ \ \ \ 1 + m + m^2 \ \ \ \ \ m^2\end{cases}[/tex3]
Como [tex3]1 + m + m^2[/tex3] é sempre positivo, então para qualquer m real o sistema admitirá solução única.
Sabemos que [tex3]y = \frac{m^2}{1 + m + m^2}[/tex3]
Substituindo na primeira equação temos: [tex3]x = 1 - m + \frac{m^3}{1 + m + m^2}[/tex3] ; [tex3]x = \frac{1}{1 + m + m^2}[/tex3]
O valor de x será máximo quando pegarmos o mínimo no denominador, ou seja, [tex3]m = \frac{-1}{2}[/tex3]




a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m.
b)Determine m para que o valor de x seja o maior possível.[/quote]