Seção II: Ângulos ⇒ Problema 115 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

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Se tem os ângulos adjacentes AOB, BOC e COD onde Ox é bissetriz do ângulo AOC,
Oy é bissetriz do ângulo BOD, OM é bissetriz do ângulo AOB e ON é bissetriz do ângulo COD.
Calcular [tex3]m\angle AOD[/tex3] se [tex3]m\angle MON + m\angle xOy = 80^o[/tex3]

Resposta

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Gabarito: C) 80^o

[petrasMOD]

[tex3]m\angle AOB = \alpha\\
m\angle BOC = \beta\\
m\angle COD = \gamma\\
Queremos:\angle AOD = \alpha + \beta + \gamma.[/tex3]

OM bissetriz de AOB[tex3] \implies m\angle MOB = \frac{\alpha}{2}[/tex3]
ON bissetriz de COD[tex3]\implies m\angle CON = \frac{\gamma}{2}[/tex3]
OX bissetriz de AOC [tex3]\implies m\angle AOX = \frac{m\angle AOC}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2}[/tex3]
OY bissetriz de BOD [tex3]\implies m\angle BOY = \frac{m\angle BOD}{2} = \frac{\beta+\gamma}{2}[/tex3]
[tex3]
m\angle MON = m\angle MOB + m\angle BOC + m\angle CON = \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\gamma}{2} = \frac{\alpha + 2\beta + \gamma}{2}\\
m\angle XOY = m\angle AOY - m\angle AOX = (m\angle AOB + m\angle BOY) - m\angle AOX\\
m\angle XOY = (\alpha + \frac{\beta+\gamma}{2}) - \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + \beta + \gamma - \alpha - \beta}{2} = \frac{\alpha + \gamma}{2}[/tex3]

[tex3]m\angle MON + m\angle XOY = 80^\circ\\
\left(\frac{\alpha + 2\beta + \gamma}{2}\right) + \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 80^\circ\\
2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 160^\circ\\
2(\alpha + \beta + \gamma) = 160^\circ\\
\boxed{ \alpha + \beta + \gamma = 80^\circ}[/tex3]