Seção II: Ângulos ⇒ Problema 113 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Dado os raios consecutivos OA, OB, OC e OD tal que [tex3]m\angle AOD = 114^o [/tex3] e a metade
da medida do ângulo formado pelo raio OD e a bissetriz OW do ângulo BOC é 16^o.
Calcuar a[tex3]m\angle AOW[/tex3]

Resposta

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Gabarito: B) 82^o

[petrasMOD]

Sejam [tex3]m\angle AOB = \alpha, m\angle BOC = \beta, m\angle COD = \gamma.\\
m\angle AOD = \alpha + \beta + \gamma = 114^\circ (I)[/tex3]

OW é bissetriz de[[tex3]m\angle BOC \implies m\angle WOC = \frac{\beta}{2}\\
m\angle WOD = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ \\
m\angle WOD = m\angle WOC + m\angle COD\\
\therefore 32^\circ = \frac{\beta}{2} + \gamma (II)[/tex3]

[tex3]m\angle AOW = m\angle AOB + m\angle BOW = \alpha + \frac{\beta}{2}[/tex3]
Resolvendo o sistema(I)e(II)
[tex3]\alpha + \beta + \gamma = 114^\circ\\
\frac{\beta}{2} + \gamma = 32^\circ\\
\gamma = 32^\circ - \frac{\beta}{2}\\
Substituindo:
\alpha + \beta + \left(32^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = 114^\circ\\
\alpha + \beta - \frac{\beta}{2} + 32^\circ = 114^\circ\\
\alpha + \frac{\beta}{2} + 32^\circ = 114^\circ\\
\alpha + \frac{\beta}{2} = 114^\circ - 32^\circ\\
\boxed{\alpha + \frac{\beta}{2} = 82^\circ = m\angle AOW }[/tex3]