Seção II: Ângulos ⇒ Problema 116 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um linha reta xx' se marca o ponto O e ao lado dele se traçam os raiso OA, OB, OC e OD
de modo que OD e OC sejam bissetrizes dos ângulos COx e BOx respectivamente.
Calcular [tex3]m\angle BOC[/tex3] se [tex3] mAOx' = 3m\angle COD[/tex3] e OA perpemdicular a OC

Resposta

---

Gabarito: A) 36^o

[petrasMOD]

---
Seja [tex3]\angle BOC = x.[/tex3]
Como OC é bissetriz de [tex3]\angle BOx \implies m\angle COx = m\angle BOC = x.[/tex3]
[tex3]\therefore m\angle BOx = m\angle BOC + m\angle COx = x + x = 2x.[/tex3]
Como OD é bissetriz de [tex3]\angle COx \implies m\angle DOx = \frac{1}{2} m\angle COx = \frac{x}{2}.[/tex3]
[tex3]\therefore m\angle COD = m\angle DOx = \frac{x}{2}.[/tex3]
[tex3]
OA \perp OC: m\angle AOC = 90^\circ.\\
m\angle AOX' = 3 \cdot m\angle COD\\
m\angle AOX' = 3 \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}[/tex3]

[tex3]xx' [/tex3]é uma reta, então [tex3]m\angle AOX + m\angle AOX' = 180^\circ.\\
m\angle AOX = 180^\circ - m\angle AOX' = 180^\circ - \frac{3x}{2}.
[/tex3]

Assumindo que os raios estão dispostos de forma que C está entre Ox e A, e que todos os ângulos são positivos e medidos no mesmo sentido (eixo Ox como referência, OA > OC):
[tex3]m\angle AOC = m\angle AOX - m\angle COx.\\
90^\circ = (180^\circ - \frac{3x}{2}) - x. ( usamos ~m\angle COx = x).\\
90^\circ = 180^\circ - \frac{3x}{2} - \frac{2x}{2}\\
0^\circ = 180^\circ - \frac{5x}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{5x}{2} = 180^\circ - 90^\circ\\
\frac{5x}{2} = 90^\circ\\
5x = 180^\circ\\
x = \frac{180^\circ}{5} = \boxed{ 36^\circ}-[/tex3]