Seção II: Ângulos ⇒ Problema 120 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem os ângulos adjacentes AOB e BOC de modo que [tex3] m\angle AOB = 64^o[/tex3]
Se traçam as bissetrizes OM e ON do ângulos AOB e BOC respectivamente.
Se o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AON e MOC mede 35^o.
Calcular a medida do ângulo BOC.

Resposta

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Gabarito: E) 76^o

[petrasMOD]

OM é bissetriz de [tex3]\angle AOB \implies m\angle MOB = 32^\circ[/tex3]
ON é bissetriz de [tex3]\angle BOC. Seja ~m\angle BOC = x \implies m\angle BON = m\angle NOC = \frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]
\angle AON = m\angle AOB + m\angle BON = 64^\circ + \frac{x}{2}\\
\angle MOC = m\angle MOB + m\angle BOC = 32^\circ + x[/tex3]

Seja OP a bissetriz de[tex3] \angle AON[/tex3] e OQ a bissetriz de[tex3] \angle MOC.[/tex3]
[tex3]m\angle PON = \frac{1}{2} (64^\circ + \frac{x}{2}) = 32^\circ + \frac{x}{4}\\
m\angle QOC = \frac{1}{2} (32^\circ + x) = 16^\circ + \frac{x}{2}[/tex3]

O ângulo entre as bissetrizes OP e OQ é [tex3]35^\circ.[/tex3]
[tex3] m\angle POC = m\angle NOC + m\angle PON = \frac{x}{2} + (32^\circ + \frac{x}{4}) = 32^\circ + \frac{3x}{4}\\
m\angle POQ = m\angle POC - m\angle QOC\\
35^\circ = (32^\circ + \frac{3x}{4}) - (16^\circ + \frac{x}{2})[/tex3]
[tex3]35^\circ = 32^\circ + \frac{3x}{4} - 16^\circ - \frac{2x}{4}\\
35^\circ = 16^\circ + \frac{x}{4}\\
19^\circ = \frac{x}{4}\\
x = 19^\circ \times 4=\boxed{ 76^\circ}[/tex3]