Seção II: Ângulos ⇒ Problema 118 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

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Se tem dois ângulos adjacentes AOB e BOC de modo que a soma desse dois ângulos é 76^o.
Se traça Ox bissetriz do ângulo AOB , Oy bissetriz do ângulo BOC, OR bissetriz do ângulo COx e
OS bissetriz do ângulo AOy. Calcular a medida do ângulo ROS.

Resposta

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Gabarito: E) 19^o

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Seja [tex3]m\angle AOB = \alpha~ e ~m\angle BOC = \beta.[/tex3]
Dado que [tex3]\alpha + \beta = 76^\circ.
[/tex3]

Ox bissecta [tex3]\angle AOB \implies m\angle AOX = m\angle XOB = \frac{\alpha}{2}.[/tex3]
Oy bissecta[tex3] \angle BOC \implies m\angle BOY = m\angle YOC = \frac{\beta}{2}.[/tex3]
[tex3]
m\angle COx = m\angle BOC + m\angle XOB = \beta + \frac{\alpha}{2}\\
m\angle AOy = m\angle AOB + m\angle BOY = \alpha + \frac{\beta}{2}.[/tex3]

OR bissecta [tex3]\angle COx \implies m\angle COR = \frac{1}{2}(\beta + \frac{\alpha}{2}) = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{4}.[/tex3]
OS bissecta [tex3]\angle AOy \implies m\angle AOS = \frac{1}{2}(\alpha + \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{4}.[/tex3]

O ângulo [tex3]\angle ROS = m\angle AOS -m\angle COR[/tex3] quando medidos a partir de um ponto de referência comum.
Considerando o ponto C como referência:
[tex3]m\angle ROS = m\angle COS - m\angle COR[/tex3]

Onde [tex3]m\angle COS = m\angle COY + m\angle YOS = \frac{\beta}{2} + (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{4}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{3\beta}{4}.[/tex3]
Portanto
[tex3]m\angle ROS = (\frac{\alpha}{2} + \frac{3\beta}{4}) - (\frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{4})\\
m\angle ROS = \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4} + \frac{3\beta}{4} - \frac{\beta}{2}\\
m\angle ROS = \frac{2\alpha - \alpha}{4} + \frac{3\beta - 2\beta}{4}\\
m\angle ROS = \frac{\alpha}{4} + \frac{\beta}{4} = \frac{\alpha + \beta}{4}\\
m\angle ROS = \frac{76^\circ}{4} = \boxed{19^\circ}
[/tex3]
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