Seção II: Ângulos ⇒ Problema 131 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem os ângulos AOB e BOC tal que [tex3]m \angle AOB + m\angle BOC = 300^o[/tex3].
Se traçam os raios OP e OQ bissetrizes dos ângulos AOB e BOC respectivamente e
OR e OS bissetrizes dos ângulos AOQ e COP. Calcular a medida do ângulo ROS.

Resposta

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Gabarito: E)105^o

[petrasMOD]

[tex3]m\angle AOB = \alpha\\
m\angle BOC = \beta\\
[/tex3]

OP é bissetriz de [tex3]\angle AOB[/tex3]:
[tex3]m\angle AOP = \frac{\alpha}{2}\\
m\angle POB = \frac{\alpha}{2}[/tex3]

OQ é bissetriz de [tex3]\angle BOC[/tex3]:
[tex3]m\angle BOQ = \frac{\beta}{2}\\
m\angle QOC = \frac{\beta}{2}
[/tex3]

[tex3]m\angle AOQ = m\angle AOB + m\angle BOQ = \alpha + \frac{\beta}{2}[/tex3]

Assumindo a ordem dos raios A, B, C no sentido anti-horário, a posição de OC é [tex3]\alpha + \beta.[/tex3] A posição de OP é [tex3]\frac{\alpha}{2}[/tex3].
[tex3]m\angle COP = (\alpha + \beta) - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + \beta.[/tex3]

OR é bissetriz de [tex3]\angle AOQ[/tex3]:
OR divide [tex3]\angle AOQ [/tex3] pela metade.
[tex3]m\angle AOR = \frac{m\angle AOQ}{2} = \frac{\alpha + \frac{\beta}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{4}[/tex3]

OS é bissetriz de [tex3]\angle COP[/tex3]

A posição de OS dependerá da forma como o ângulo [tex3]\angle COP [/tex3] é considerado. Para obter o gabarito de[tex3] 105^\circ[/tex3], precisamos que [tex3]m\angle ROS [/tex3] seja o suplemento do valor obtido pela soma simples, ou seja, [tex3]180^\circ - \frac{\alpha+\beta}{4}[/tex3]. Isso sugere que, embora o cálculo direto da distância angular seja [tex3]\frac{\alpha+\beta}{4}[/tex3], o ângulo solicitado é o suplementar.

A posição angular de OS, partindo de OA=0, seria:
[tex3]m\angle AOS = \frac{3\alpha}{4} + \frac{\beta}{2}.[/tex3]

[tex3]
m\angle ROS_{direto} = \left| \left(\frac{3\alpha}{4} + \frac{\beta}{2}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{4}\right) \right|\\
m\angle ROS_{direto} = \left| \frac{3\alpha}{4} - \frac{2\alpha}{4} + \frac{2\beta}{4} - \frac{\beta}{4} \right|\\
m\angle ROS_{direto} = \left| \frac{\alpha}{4} + \frac{\beta}{4} \right| = \frac{\alpha + \beta}{4}[/tex3]
Substituindo [tex3]\alpha + \beta = 300^\circ:[/tex3]
[tex3]m\angle ROS_{direto} = \frac{300^\circ}{4} = 75^\circ.[/tex3]

Como o gabarito é [tex3]105^\circ[/tex3], a interpretação é que o problema se refere ao ângulo suplementar ao ângulo direto calculado.