Seção II: Ângulos ⇒ Problema 132 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sejam osângulos adjacentes suplementares AOB e BOC e os raios OP, OQ, Ox e Oy
as bissetrizes dos ângulos AOB, BOC, AOQ e COP. Calcular o complemento da
medida do ângulo xOy.

Resposta

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Gabarito: D) 45^o

[petrasMOD]

[tex3]AOB = \alpha\\
BOC = \beta[/tex3]
São adjacentes suplementares, então [tex3]\alpha + \beta = 180^\circ.
[/tex3]
Bissetrizes
[tex3]OP (de AOB): AOP =\frac{ \alpha}{2}\\\
OQ (de BOC): BOQ = \frac{\beta}{2}\\
Ox (de AOQ):\\
AOQ = AOB + BOQ = \frac{\alpha + \beta}{2}\\
AOx = \frac{1}{2} (\frac{\alpha + \beta}{2}) = \frac{\alpha/2 + \beta}{4}\\
Oy (de COP):\\
COP = COB + BOP = \frac{\beta + \alpha}{2}\\
AOP = \frac{\alpha}{2}\\
AO_y = AOP + \frac{1}{2} COP = \alpha/2 + \frac{1}{2} (\beta + \alpha/2) = \frac{3\alpha}{4} + \frac{\beta}{2}
[/tex3]

[tex3]xOy = |AO_y - AOx|\\
xOy = |(\frac{3\alpha}{4} + \frac{\beta}{2}) - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{4})|\\
\therefore xOy = (\frac{\alpha + \beta}{4}) =\frac{180}{4} = 45^o [/tex3]

Portanto o complemento de [tex3]xOy = 90^\circ - 45^\circ = \boxed{\mathbf{45^\circ}}[/tex3]

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