Seção II: Ângulos ⇒ Problema 135 - Linhas Retas e Ângulos-Vol. 1 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Da medida maior de um de dois ângulos suplementares se diminui [tex3]\alpha ^o[/tex3] e
da outra medida se diminui [tex3]\beta^o [/tex3]. Esta última medida resultante é igual a
2/3 do que restou da medida anterior. Para que o suplemento da diferença desses ângulos
suplementares seja o maior possível calcular [tex3]\beta^o [/tex3] se [tex3]\alpha = 5^o[/tex3] .

Resposta

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Gabarito: E) 33^o

[petrasMOD]

Dois ângulos suplementares A e B (A > B)
A + B = [tex3]180^\circ[/tex3].
[tex3]A' = A - \alpha.\\
B' = B - \beta[/tex3].
B' é igual a [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] do que restou da medida anterior A'.
[tex3]B' = \frac{2}{3} A' \implies B - \beta = \frac{2}{3} (A - \alpha)[/tex3]
[tex3]A = 180^\circ - B.[/tex3]
Substituindo A na equação da relação:
[tex3]B - \beta = \frac{2}{3} ((180^\circ - B) - \alpha)\\
3(B - \beta) = 2(180^\circ - B - \alpha) \\
3B - 3\beta = 360^\circ - 2B - 2\alpha \implies
B = \frac{360^\circ + 3\beta - 2\alpha}{5}
[/tex3]

Portanto:
[tex3]A = 180^\circ - B = 180^\circ - \frac{360^\circ + 3\beta - 2\alpha}{5}\\
A = \frac{900^\circ - (360^\circ + 3\beta - 2\alpha)}{5} =
\frac{540^\circ - 3\beta + 2\alpha}{5}[/tex3]

Condição para (A > B):

[tex3]\frac{540^\circ - 3\beta + 2\alpha}{5} > \frac{360^\circ + 3\beta - 2\alpha}{5}\\
540^\circ - 3\beta + 2\alpha > 360^\circ + 3\beta - 2\alpha\\
180^\circ + 4\alpha > 6\beta \implies
90^\circ + 2\alpha > 3\beta
[/tex3]


A diferença dos ângulos suplementares é |A - B|.
[tex3]A - B = \frac{540^\circ - 3\beta + 2\alpha}{5} - \frac{360^\circ + 3\beta - 2\alpha}{5}\\
A - B = \frac{180^\circ - 6\beta + 4\alpha}{5}[/tex3]

Para que o suplemento de (A - B) seja o maior possível, a diferença (A - B) deve ser a menor possível.

Utilizando [tex3]\alpha = 5^\circ[/tex3]:
[tex3]A - B = \frac{180^\circ - 6\beta + 4(5^\circ)}{5}\\
A - B = \frac{180^\circ - 6\beta + 20^\circ}{5}\\
A - B = \frac{200^\circ - 6\beta}{5}
[/tex3]
Para minimizar (A-B), precisamos maximizar [tex3]6\beta.[/tex3]

Usando a condição [tex3]90^\circ + 2\alpha > 3\beta[/tex3] para encontrar o limite de [tex3]\beta:[/tex3]
[tex3]90^\circ + 2(5^\circ) > 3\beta\\
90^\circ + 10^\circ > 3\beta \implies \beta < 33.333...^\circ
[/tex3]

Portanto o maior valor inteiro possível para [tex3] \beta[/tex3] é [tex3]33^\circ.[/tex3]