IME / ITA ⇒ (ITA - 1988) Características de uma Função Tópico resolvido

[bruninha]

Seja [tex3]f:R\,\rightarrow\,R[/tex3] uma função estritamente descrescente, isto é, qualquer [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] reais com [tex3]x<y[/tex3] tem [tex3]f(x)\gt f(y)[/tex3]. Dadas as afirmações:

I. [tex3]f[/tex3] é injetora.
II. [tex3]f[/tex3] pode ser uma função par.
III. se [tex3]f[/tex3] possui inversa sua inversa também é estritamente decrescente.

podemos assegurar que:

a) apenas as afimações I e III são verdadeiras.
b) apenas as afimações II e III são falsas.
c) apenas a afirmação I é falsa.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas a afirmação II é verdadeira.

[bruninha]

alguém me ajuda com essa questão ??

[mawapa]

Oi bruniha!

se a função é estritamente decrescente ela não possui 2 pontos na mesma reta horizontal,

afirmação I, ela é injetora, é verdadeira
pela definição de injetora temos que para 2 raizes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3], com [tex3]x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)[/tex3], isso quer dizer que o gráfico da equação não terá 2 pontos na mesma reta horizontal, pois cada x resultará um y diferente, então é verdadeira.

afirmação II, ela é par, é falsa
pela definição de par, [tex3]f(-x) = - f(x)[/tex3], ou seja, o gráfico faz uma reflexão no eixo y, se a equação for par o seu gráfico terá 2 pontos na horizontal e não será estritamente decrescente, então é falsa.

afirmação III, a inversa é estritamente decrescente, é falsa
na função original temos os pontos (x,y), mas na função inversa os pontos serão (y,x), então se tivermos [tex3]x<y[/tex3] teremos que [tex3]f(x)<f(y)[/tex3], que será estritamente crescente.

então fica alternativa B,

acho que é isso, não sei se consegui me expressar direito.
bjos.

[Karl Weierstrass]

A afirmação III é verdadeira. Se [tex3]f[/tex3] é estritamente decrescente, a inversa de [tex3]f[/tex3] também é estritamente decrescente.

Exemplo:

[tex3]\hspace{70pt}[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{A}}[/tex3]

[petrasMOD]

Segue solução do ETAPA

[ALANSILVA]

Caramba questão de 18 anos atrás