Pré-Vestibular ⇒ (FGV - 2009) Sistema de Equações Tópico resolvido

[jacobi]

A História da Matemática apresenta muitos problemas para resolver mediante sistemas de equações, mas cujos enunciados indicam que as soluções são números naturais. Resolva este antigo problema:
Dois viajantes encontraram uma bolsa que continha entre 150 e 200 moedas de ouro. O primeiro disse para o segundo: “Se eu ficar com metade do dinheiro que há na bolsa, vou me tornar o dobro de rico que você, se não contar o dinheiro que levo comigo”
O segundo disse para o primeiro: “Se eu ficar com dois terços do dinheiro da bolsa, eu terei, com o que levo, o triplo da quantia que você leva consigo”. Quantas moedas de ouro continha a bolsa? Que quantia levava cada um dos amigos?

[petrasMOD]

Questão Antiga:

Seja x a quantidade de moedas na bolsa [tex3]\rightarrow 150 < x < 200[/tex3] (I)

Seja y = moedas Viajante A e z = moedas do Viajante B:

A [tex3]\rightarrow \frac{x}{2}=2z\rightarrow x = 4z[/tex3] (II)

Substituindo em (I) teremos: [tex3]\rightarrow 150 < 4z < 200\rightarrow 37,5 < z < 50 [/tex3] (III)

B [tex3]\rightarrow \frac{2x}{3}+z=3y\rightarrow 2x+3z = 9y[/tex3] (IV)

Substituindo (II) em (IV) [tex3]\rightarrow 2(4z)+3z=9y\rightarrow 11z=9y\rightarrow z=9\cdot\frac{y}{11}[/tex3] portanto z é múltiplo de 9

mas 37,5 < z < 50 assim só serve z = 9.5 = 45

De (II) x = 4.45 = 180

De (IV) 2.(180)+3.(45) = 9y [tex3]\rightarrow y = \frac{495}{5}=55[/tex3]

Solução: 180 moedas na bolsa, A =55 moedas e B = 45 moedas