Olimpíadas ⇒ Soluções Inteiras e Positivas de uma Equação

[italoemanuell]

Determine as soluções inteiras e positivas da equação:

• [tex3](x+1)\cdot (y+2)=2xy.[/tex3]

[bigjohn]

• [tex3](x+1)\cdot(y+2)=2xy[/tex3]
  
  [tex3]xy+2x+y+2=2xy[/tex3]
  
  [tex3]{-}xy+2x+y+2=0[/tex3]
  
  [tex3]{-}x(y-2)+y-2+4=0[/tex3]
  
  [tex3](y-2)\cdot(1-x)=-4[/tex3]

Já que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são inteiros. podemos testar uma a uma as possibilidades.

• [tex3](y-2)\cdot(1-x)=1\cdot(-4)\Rightarrow \begin{cases} y-2=1\\1-x=-4 \end{cases}[/tex3] [tex3]\Longrightarrow y=3,\,x=5[/tex3]
  
  [tex3](y-2)\cdot(1-x)=(-1)\cdot 4\Rightarrow \begin{cases}y-2=-1\\1-x=4 \end{cases} \Longrightarrow y=1,\,x=-3[/tex3]
  
  [tex3](y-2)\cdot(1-x)=2\cdot(-2)\Rightarrow \begin{cases}y-2=2\\1-x=-2 \end{cases} \Longrightarrow y=4,\,x=3[/tex3]
  
  [tex3](y-2)\cdot(1-x)=(-2)\cdot 2\Rightarrow \begin{cases}y-2=-2\\1-x=2 \end{cases} \Longrightarrow y=0,\,x=-1[/tex3]

Daí [tex3](y=3[/tex3] e [tex3]x=5)[/tex3] e [tex3](y=4[/tex3] e [tex3]x=3),[/tex3] porque as outras não são positivas.