Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 052 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

(U.F. VIÇOSA-90) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo
adjacente à base maior. Isto significa que:
a) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.
b) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.
e) as diagonais se interceptam formando ângulo relo.
d) a base maior tem medida igual à dos lados obliquos.
e) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.

Resposta

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Gabarito: b)

[petrasMOD]

Em um trapézio isósceles:
* Os lados oblíquos (não paralelos) são congruentes: AD = BC.
* Os ângulos da base maior são congruentes: [tex3]\angle DAB = \angle CBA.[/tex3]
* Os ângulos da base menor são congruentes:[tex3] \angle ADC = \angle BCD[/tex3].
* As diagonais são congruentes: AC = BD.

Considere que a diagonal AC seja a bissetriz do ângulo [tex3]\angle DAB[/tex3].
Isso significa que [tex3]\angle DAC = \angle CAB[/tex3].

Como AB é paralelo a CD, e AC é uma transversal, temos que [tex3]\angle DCA = \angle CAB [/tex3](ângulos alternos internos).

Sabemos que $[tex3]\angle DAC = \angle CAB$[/tex3] (pois AC é bissetriz).
E também sabemos que [tex3]\angle DCA = \angle CAB[/tex3] (ângulos alternos internos).
Portanto, concluímos que [tex3]\angle DAC = \angle DCA[/tex3].

Se em um triângulo dois ângulos são iguais, então os lados opostos a esses ângulos também são iguais.
No triângulo [tex3]\triangle ADC[/tex3], como [tex3]\angle DAC = \angle DCA[/tex3], o triângulo [tex3]\triangle ADC [/tex3]é isósceles com base AC.
Isso implica que os lados AD e CD são congruentes.

No trapézio isósceles, sabemos que os lados oblíquos são congruentes, ou seja, AD = BC.
AD = CD portanto, CD = AD = BC.
Isso significa que a base menor (CD) tem a mesma medida dos lados oblíquos (AD e BC).

a) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.
Falso. Em qualquer trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à base menor são sempre congruentes.

b) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.
Verdadeiro. Conforme demonstrado acima, CD = AD = BC.

c) as diagonais se interceptam formando ângulo reto.
Falso. Essa não é uma consequência direta dessa condição e não é uma propriedade geral de todos os trapézios isósceles com essa característica.

d) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.
Falso. A base maior geralmente será maior que os lados oblíquos. Se fosse igual, teríamos um triângulo equilátero, não um trapézio.

e) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.
Falso. Essa propriedade é dos paralelogramos. No trapézio, as diagonais se interceptam, mas não no ponto médio de ambas (a menos que seja um caso degenerado de paralelogramo).