Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 099 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

{U.F.MG-82) Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AB no ponto E. Se AE · EB = 3, a medida de CD é

Resposta

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Gabarito: b) 2[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[rcompany]

[tex3]O\text{ centro do círculo}\\
D\text{ no círculo e $AB$ diâmetro}\implies \triangle ABD\text{ retângulo em }D\\
ED\text{ altura oriunda de }D\implies AE\cdot EB=ED^2\\
\therefore ED=\sqrt{AE\cdot EB}=\sqrt{3}\\
OD=OC\implies \triangle OCD\text{ isósceles em $O$}\implies \text{a altura $OI,\,I\in CD,$ é também mediatriz de $CD$}\\
(OI)\perp(CD), (OE)\perp (CD)\text{ e }E,I\in (CD)\implies I=E\implies EC=ED\\
\therefore CD=CE+ED=2\cdot ED=2\sqrt{3}[/tex3]

[petrasMOD]

Teorema das cordas

[tex3]AE.EB = CE.ED\\
CE = ED \implies 3 = CE^2 \therefore CE = \sqrt3\\
CD = CE+ED = \sqrt3+\sqrt3 = \boxed{2\sqrt3}[/tex3]