Olimpíadas ⇒ (OMRN) Determine o algarismo das unidades de n³

[luiseduardo]

(OMRN) Sejam n um real positivo e k um racional positivo. Suponha que [tex3](2.n)^{k}=1944[/tex3] e [tex3]n^{k}=486.\sqrt{2}[/tex3]. Determine o algarismo das unidades de n³.

[adrianotavares]

Olá, luiseduardo.

Vou ver se consigo, Vamos lá.

[tex3]n^k=486\sqrt{2}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3](2.n)^ k= 1944 \Rightarrow 2^k.n^k=1944[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]2^k.486\sqrt{2}= 1944 \Rightarrow 2^k\sqrt{2}=\frac{1944}{486} \Rightarrow 2^k.2^{\frac{1}{2}}= 4 \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 2^{(k+\frac{1}{2})}= 2^2[/tex3]

Como as bases são iguais devemos ter:

[tex3]k+\frac{1}{2}= 2 \Rightarrow k= 2- \frac{1}{2} \Rightarrow k= \frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]n^k= 486\sqrt{2} \Rightarrow n^{\frac{3}{2}= 486\sqrt{2}}[/tex3]

Evevando ambos os membros ao quadrado teremos:

[tex3](n^{\frac{3}{2}})^2= 2.(486)^2 \Rightarrow n^3= 2.(486)^2[/tex3]

O número [tex3]486[/tex3] ao quadrado termina com algarismo das unidades igual a [tex3]6[/tex3] e esse algarismo multiplicado por [tex3]2[/tex3] termina em [tex3]2[/tex3] logo, o algarismo das unidades de [tex3]n^3[/tex3] é igual a [tex3]2[/tex3].

[tex3]n^3= 2.(486)^2 \Rightarrow n^3= 2.(236196) \Rightarrow n^3 = 472392[/tex3]

[luiseduardo]

É minha resposta foi igual ... obrigado