Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 127 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

(VliNESP-84) Entre os triângulos retângulos cuja soma dos catetos é uma certa constante, o de menor perímetro é:
a) aquele cujos catetos são iguais.
b) aquele em que um dos catetos é o dobro do outro.
c) aquele em que um dos catetos é o triplo do outro.
d) aquele em que um dos catetos é duas vezes e meia o outro.
e) aquele em que um dos catetos é uma vez e meia o outro.

Resposta

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Gabarito: a)

[petrasMOD]

Se a soma dos catetos é uma constante (S), podemos expressar um cateto como x e o outro como S-x.
[tex3]Hipotenusa = \sqrt{x^2+(S-x)^2}[/tex3]
O perímetro P é dado por:
[tex3]P = x + (S-x) + \sqrt{(x^2 + (S-x)^2)}\\
P = S + \sqrt{(2x² - 2Sx + S^2)}[/tex3]
Para minimizar o perímetro, precisamos minimizar a expressão dentro da raiz quadrada. A função [tex3]2x^2 - 2Sx + S^2[/tex3] é uma parábola com concavidade para cima, e seu valor mínimo ocorre no vértice, onde [tex3] x = \frac{S}{2}.[/tex3] Isso significa que o valor mínimo do perímetro ocorre quando os catetos são iguais ([tex3](x = \frac{S}{2} [/tex3]e S[tex3]-x = \frac{S}{2}[/tex3]).
Portanto, a alternativa correta é a a) aquele cujos catetos são iguais.