IME / ITA ⇒ (Cm) Aritmética

[botelho]

Calcular a soma dos algarismos do menor número que dividido por 5, 7 e 8 dá restos 3, 5 e zero, respectivamente.
A)7
B)8
C)9
D)10
E)11

Resposta

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d

[ProfLaplace]

Fala Botelho, beleza?
Dá para resolver essa questão de maneira elegante com congruências, ou usar uma abordagem conceitualmente mais "simples".
Vou fazer da segunda maneira sem congruências, pois não sei se está familiarizado com congruência e suas propriedades, ok ?

Seja x um número que atende tais requisitos.
Temos que x dividido por 8 dá resto 0, de forma que x=8k, com k inteiro.
Como o resto da divisão de x por 5 é 3, segue que x=8k=5m+3, com m inteiro.
Daí podemos manipular para 3k+5k=5m+3 => 3k=5(m-k)+3.
Chamando m-k de n, n inteiro também, temos 3k=5n+3 => 3(k-1)=5n.
Como 5 divide 3(k-1), segue que 5 deve dividir k-1, de forma que k-1=5q (q inteiro) => k=5q+1.
Logo x=8k=8(5q+1)=40q+8.

A partir daqui temos duas opções: continuar formalmente (o que vai dar um pouco de trabalho, pois precisará do algoritmo de euclides), ou simplesmente ir testando valores.
Vou fazer a segunda opção que é menos formal, porém mais rápida:
q=0 => x=8 => x deixa resto 1 na divisão por 7 (não serve).
q=1 => x=48 => x deixa resto 6 na divisão por 7 (não serve).
q=2 => x=88 => x deixa resto 4 na divisão por 7 (não serve).
q=3 => x=128 => x deixa resto 2 na divisão por 7 (não serve).
q=4 => x=168 => x deixa resto 0 na divisão por 7 (não serve).
q=5 => x=208 => x deixa resto 5 na divisão por 7 (é o que queremos).

Logo o menor valor para x é x=208.
Soma dos algarismos é 2+0+8=10.
Alternativa D.

[ProfLaplace]

Solução mais direta por congruência: basta usar o Teorema do Resto Chinês.