Olimpíadas ⇒ (OBM/2008) Calcule o valor de:

[luiseduardo]

(OBM/2008) Os números a e b são as raízes da equação [tex3]x{}^{2}-x-1=0[/tex3]. Calcule [tex3]13.a^{5}+5.b^{7}[/tex3].


OBS: Por favor, se alguém souber me explicar detalhadamente como resolver que tive algumas dúvidas.

Resposta

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Resposta: 144

[John]

As raizes da equação [tex3]x^2 -x -1 = 0[/tex3] são: [tex3]a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3] e [tex3]b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3].

Como [tex3]a[/tex3] é raiz da equação [tex3]x^2 -x -1 = 0[/tex3], temos: [tex3]a^2 -a -1 = 0[/tex3], ou seja,

[tex3]a^2 = a + 1[/tex3]

[tex3]a^5 = a^3(a + 1) = a^2(a^2 + a)[/tex3]

Temos que [tex3]a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3] e [tex3]a^2 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]. Então,

[tex3]a^5 = a^2(a^2 + a) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)(2 + \sqrt{5}) = \frac{11 + 5\sqrt{5}}{2}.[/tex3]

De mesmo modo, como [tex3]b[/tex3] é raiz da equação [tex3]x^2 -x -1 = 0[/tex3], temos: [tex3]b^2 -b -1 = 0[/tex3], ou seja,

[tex3]b^2 = b + 1[/tex3]

[tex3]b^7 = b^5(b + 1) = b^2b^2(b^2 + b)[/tex3]

Temos que [tex3]b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3] e [tex3]b^2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]. Então,

[tex3]b^7 = b^2b^2(b^2 + b) = \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^2\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \left(\frac{14 - 6\sqrt{5}}{4}\right)(2 - \sqrt{5}) = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}(2 - \sqrt{5}) = \frac{29 - 13\sqrt{5}}{2}.[/tex3]

Portanto,

[tex3]13a^5 + 5b^7 = 13\left(\frac{11 + 5\sqrt{5}}{2}\right) + 5\left(\frac{29 - 13\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{143 + 65\sqrt{5} + 145 - 65\sqrt{5}}{2} = \frac{288}{2} = 144.[/tex3]

[luiseduardo]

vlw cara