Vol. 09 - Geometria Plana FME 2004 ⇒ 373 - FME 09 -Teste de Vestibulares Tópico resolvido

[petrasMOD]

E finalmente o último. Acabamos de "zerar" os testes do FME 09 com 100% das resoluções de 373 questões e já agradeço principalmente ao colega rcompany que paricipou ativamente dessa jornada...e já preparando para uma próxima com a versão mais nova dos testes de vestibulares do FME onde as questões foram atualizadas

(PUC-MG-92) Um trapézio isósceles tem base maior igual a 6 cm e altura igual a 2 m(o correto deveria ser cm). Uma circunferência tem raio igual à base menor do trapézio. Se a área do trapézio é igual a 62,5([tex3](\pi )^{-1}[/tex3]% da área da circunferência, em m, seu perímetro é:

a) 6 + [tex3]\sqrt{6}[/tex3]
b) 6 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
c) 5 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
d 2 (6+[tex3]\sqrt{6}[/tex3])
e) 2(5+[tex3]\sqrt{5}[/tex3])

Resposta

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Gabarito: e)

[petrasMOD]

Base maior (B): 6 cm
Altura (h): 2 cm
Base menor (b)
Raio da circunferência (r):r = b
Área do Trapézio : [tex3] A_{\text{trapézio}} = \frac{(B+b) \times h}{2} = \frac{(6 + b) \times 2}{2} = 6 + b[/tex3]
Área da Circunferência [tex3]A_{\text{circunferência}} = \pi r^2= \pi b^2[/tex3]
A área do trapézio é igual a[tex3] \frac{62,5}{\pi}[/tex3]% da área da circunferência
[tex3]A_{\text{trapézio}} = \frac{62,5}{100\pi} \times A_{\text{circunferência}}\\
A_{\text{trapézio}} = \frac{5}{8\pi} \times A_{\text{circunferência}}[/tex3]
[tex3]6 + b = \frac{5}{8\pi} \times (\pi b^2) \implies
6 + b = \frac{5}{8} b^2
[/tex3]
[tex3]8(6) + 8b = 5b^2 \implies b^2 - 8b - 48 = 0\\
b_1 = \mathbf{4 }\\
b_2 = \cancel{-2,4}
[/tex3]

O lado (L) do trapézio:
[tex3]L^2 = h^2 + \left(\frac{B-b}{2}\right)^2= 2^2 + \left(\frac{6-4}{2}\right)^2= 4 + \left(\frac{2}{2}\right)^2\\
L^2 = 4 + 1^2 = 5 \therefore L = \sqrt{5}[/tex3]

Finalmente, calculamos o perímetro do trapézio:
[tex3]P = B + b + 2L = 6 + 4 + 2\sqrt{5} = 10 + 2\sqrt{5}\\
\therefore \boxed{\mathbf{P = 2\(5+\sqrt{5}\)}}[/tex3]