Ensino Médio ⇒ Questão Dos 3 Macacos - Gandhi Tópico resolvido

[ErdōsMorell]

161. Três macacos engenhosos dividiram um monte de bananas. O primeiro macaco pegou algumas bananas do monte, ficou com très quartos delas e dividiu o resto igualmente entre os outros dois. O segundo macaco pegou algumas bananas do monte, ficou com um quarto delas e dividiu o resto igualmente entre os outros dois. O terceiro macaco pegou o resto das bananas do monte, ficou com uma duodécima parte delas e dividiu o resto igualmente entre os outros dois. Sabendo que cada macaco recebeu um número inteiro de bananas a cada vez que havia uma divisão e que os números de bananas do primeiro, segundo e terceiro macacos ao final do processo estavam na razão 3:2:1, a soma dos algarismos do menor número possível de bananas é igual a:

Questão Do Livro Do Gandhi - Os 3 macacos

IMG-20240216-WA0004.jpg (34.67 KiB) Exibido 768 vezes

Alguém consegue resolver ?

[petrasMOD]

ErdōsMorell,

VocÊ deve ler as regras do forum antes de postar...È proibido postar questões me forma de imagem..Por favor transcreva a questão abaixo da figura....não é necessário criar um novo post.

Poste as alternativas junto com a questão.

[JigsawMOD]

petras, REDIGITEI o enunciado da questão caso alguém queira efetuar a sua resolução.

[ALANSILVA]

Alguém sabe essa do macaco???

[ALANSILVA]

alguém????

[petrasMOD]

@ALANSILVA

Têm as alternativas?

[rcompany]

[tex3]n_1,n_2\text{ os números de bananas retiradas pelo primeiro e segundo macaco}\\
k\text{ o número de bananas recebidas pelo terceiro macaco}\\
n\text{ o número total de bananas}\\
\text{O primeiro macaco recebeu }\frac{3}{4}n_1+\frac{3}{8}n_2+\frac{11}{24}(n-n_1-n_2)=3k\quad (1)\\
\text{O segundo macaco recebeu }\frac{1}{8}n_1+\frac{1}{4}n_2+\frac{11}{24}(n-n_1-n_2)=2k\quad(2)\\
\text{O terceiro macaco recebeu }\frac{1}{8}n_1+ \frac{3}{8}n_2+\frac{1}{12}(n-n_1-n_2)=k\quad(3)\\

(1)\implies 18n_1+9n_2+11(n-n_1-n_2)=72k\implies 11n+7n_1-2n_2=72k=72\cdot\frac{n}{6}=12n\implies -n+7n_1-2n_2=0\\
(2)\implies 3n_1+6n_2+11(n-n_1-n_2)=48k\implies 11n-8n_1-5n_2=48k=8n\implies 3n-8n_1-5n_2=0\\
(3)\implies 3n_1+9n_2+2(n-n_1-n_2)=24k\implies 2n+n_1+7n_2=24k=4n\implies-2n+n_1+7n_2=0\\

\text{O sistema se resolve em }n_1=\frac{11}{51}n,n_2=\frac{13}{51}n\\
\text{o que implica que }51\mid n\\
\text{ O primeiro macaco dividiu em oitavos, então $8\mid n_1$, o que implica que $8\mid n$ já que $n_1=\frac{11}{51}n$}\\
\text{ O terceiro macaco dividiu em doze avos, então $12\mid (n-n_1-n_2)$, o que implica que $12\mid n$ já que $(n-n_2-n_2)=\frac{27}{51}n$}\\
MMC(8,12,51)=MMC(2^3,2^2\cdot3,3\cdot 17)= 2^3\cdot 3\cdot 17=8\cdot 51=408\\
n=k\cdot 408,\,k\in\mathbb{N}\\
\text{eliminando o caso trivial de zero bananas, temos no mínimo 408 bananas}\\
\text{Soma dos algarismos de 408: 12}
[/tex3]

[ALANSILVA]

@ALANSILVA

Têm as alternativas?

Não
Eu achei essa questão em outro fórum e achei interessante. Iria colocar um tópico aqui, porém vi que ja tinha um tópico aberto. Neste sentido, aproveitei para ficar atualizando

[petrasMOD]

@ALANSILVA
Teve um gênio que pintou as alternativas mas o rcompany já resolveu a resolveu..

Apenas de ilustração segue a comprovação


Com um total de 408 bananas no monte, a distribuição entre os três macacos ocorreu da seguinte forma:


Primeiro Macaco (M1)

O primeiro macaco (M1) pegou [tex3]\frac{11.408}{51}[/tex3] = 88 bananas do monte.

Ficou para si: M1 guardou [tex3]\frac{3}{4} [/tex3]de 88, ou seja, 66 bananas.
Dividiu: O restante, que era [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] de 88 (ou 22 bananas), foi dividido igualmente entre os outros dois macacos.
O segundo macaco (M2) recebeu 11 bananas.
O terceiro macaco (M3) também recebeu 11 bananas.

Segundo Macaco (M2)

O segundo macaco (M2) pegou [tex3]\frac{13.408}{51}[/tex3]=104 bananas do monte.

Ficou para si: M2 guardou [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] de 104, ou seja, 26 bananas.
Dividiu: O restante, que era [tex3]\frac{3}{4} [/tex3]de 104 (ou 78 bananas), foi dividido igualmente entre os outros dois macacos.
O primeiro macaco (M1) recebeu 39 bananas.
O terceiro macaco (M3) também recebeu 39 bananas.

Terceiro Macaco (M3)

O terceiro macaco (M3) pegou as [tex3]\frac{27.408}{51}[/tex3]216 bananas restantes do monte.

Ficou para si: M3 guardou [tex3]\frac{1}{12}[/tex3] de 216, ou seja, 18 bananas.
Dividiu: O restante, que era [tex3]\frac{11}{12} [/tex3]de 216 (ou 198 bananas), foi dividido igualmente entre os outros dois macacos.
O primeiro macaco (M1) recebeu 99 bananas.
O segundo macaco (M2) também recebeu 99 bananas.

Ao final de todas as divisões, a quantidade total de bananas para cada macaco foi:

Macaco 1 (M1): 66 (dele) + 39 (do M2) + 99 (do M3) = 204 bananas
Macaco 2 (M2): 11 (do M1) + 26 (dele) + 99 (do M3) = 136 bananas
Macaco 3 (M3): 11 (do M1) + 39 (do M2) + 18 (dele) = 68 bananas

As quantidades finais de bananas (204:136:68) estão na razão 3:2:1 (dividindo todos os números por 68).
O menor número possível de bananas no monte inicialmente é 408.
A soma dos algarismos desse número é 4 + 0 + 8 = 12.

[ALANSILVA]

@petrasMOD também não sei por que o @ErdōsMorell pintou as alternativas