Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 012 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FEI-SP) Num triângulo isósceles, o maior lado mede 10 cm e o maior ângulo interno é o dobro da soma dos outros dois ângulos internos. A área deste triângulo é:

a) [tex3]\frac{25\sqrt3}{3}cm^2[/tex3]
b) [tex3]\frac{25\sqrt3}{2}cm^2[/tex3]
c) [tex3]\frac{25}{2}cm^2[/tex3]
d) [tex3]\frac{25\sqrt3}{6}cm^2[/tex3]
e) [tex3]\frac{25\sqrt3}{4}cm^2[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: a)

[rcompany]

[tex3]
\triangle ABC \text{ isósceles em }A,\,\alpha=\angle BAC\\
\angle CAB=\angle ACB=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\\
\angle CAB=2(\angle ACB+\angle BAC)\implies \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}=2( \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}+\alpha)\implies \alpha =-\frac{\pi}{3}\text{ impossível}\\
\text{o ângulo maior é }\angle BAC\\
\alpha=2\cdot2\cdot(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha)}{2}\implies \alpha=2\pi-2\alpha\implies \alpha=\frac{2\pi}{3}\\

BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos 120°=3AB^2\implies BC>AB\text{ e }AB=\frac{10}{\sqrt{3}}\\
BC\text{ o lado maior}\\
\text{ a altura vale }AB\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{5}{\sqrt{3}}\\
\text{ a área é }\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot10=\frac{25}{\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\\
\\\fbox{$\quad$resposta a$\quad$}
[/tex3]