Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 027 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Da questão 27 a 43 teremos: Quadriláteros notáveis – Pontos notáveis do triângulo – Polígonos

(ITA-SP) Sejam A 5 (0, 0), B 5 (0, 6) e C 5 (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

a) [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{97}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{109}}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{10}{3}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: b)

[Atendimento]

Temos as seguintes coordenadas:

A = (0,0)
B = (0,6)
C = (4,3)

O baricentro de um triângulo com os vértices [tex3]A(x_1,y_1),B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)[/tex3] pode ser escrito como sendo:

[tex3]G = \left (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)[/tex3]

Assim,

[tex3]G = \left (\frac{0+0+4}{3}, \frac{0+6+3}{3} \right)[/tex3]

[tex3]G = \left (\frac{4}{3},3 \right)[/tex3]

Como queremos a distância do baricentro G até o ponto A = (0,0), substituímos na fórmula da distância entre dois pontos:

[tex3]d=\sqrt{(x_G-x_A)^2+(y_G-y_A)^2}[/tex3]

[tex3]d=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+(3)^2}[/tex3]

[tex3]d=\sqrt{\frac{16}{9}+9}[/tex3]

[tex3]d=\sqrt{\frac{97}{9}}[/tex3] [tex3]\therefore d=\frac{\sqrt{97}}{3}\ cm
[/tex3]

[rcompany]

[tex3]I\text{ ponto médio de $AB$}\\
\overset{\rightarrow}{IC}\cdot\overset{\rightarrow}{AI}=0\cdot4+3\cdot0=0\implies(AI)\perp(IC): \text{ temos um triângulo isósceles em $C$}\\

\implies CI\text{ também mediana de $AB$ e $CI=4$}\\
G\text{ se encontra a um terço do comprimento da mediana $CI$, saindo de }I: IG=\frac{4}{3}\\
\triangle AGI\text{ retângulo em }I\implies GI=\sqrt{AI^2+IG^2}=\sqrt{3^2+(\frac{4}{3})^2}=\frac{\sqrt{97}}{3}[/tex3]