Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 052 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(ITA-SP) Sejam P₁ e P₂ octógonos regulares.O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P₁ e A₂ a área de P₂, então a razão [tex3]\frac{A_1}{A_2}[/tex3] é igual a

a) [tex3]\sqrt{\frac{5}{8}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{9\sqrt2}{16}[/tex3]
c) 2[tex3]\sqrt{2}-1[/tex3]
d) [tex3]\frac{4\sqrt{2}+1}{8}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: e)

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{a_c = \frac{360}{8} = 45^o\\
SP_1 = 8.S\triangle _1(OKL)\\
SP2=8S\triangle_2(OFB)\\\\
\therefore \frac{SP_1}{SP_2}=\frac {S\triangle_1}{S\triangle_2} = \frac{S_1}{S_2} \\
\triangle _1\sim \triangle _2: \frac{S_1}{S_2} = (\frac{l_1}{l_2})^2 = (\frac{r}{R})^2(I)\\
\triangle OAB: cos(\frac{45}{2}) = \frac{r}{R}\\
cos(\frac{\theta}{2}) =\sqrt{\frac{1+cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}\\
DE(I):\frac{S_1}{S_2} = (\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}})^2 = \boxed{\frac{2+\sqrt2}{4}}}[/tex3]
e)