Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 094 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Unesp-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Qual o comprimento da hipotenusa se o perímetro do triângulo mede 12?

Resposta

---

Gabarito: 5

[petrasMOD]

Vamos denotar os lados do triângulo como a, b e c , onde c é a hipotenusa.

a = x - r
b = x
c = x + r

O perímetro do triângulo é dado por:

a + b + c = 24

Portanto: (x - r) + x + (x + r) = 12

\[
3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{12}{3} = 4
\]


\[
a^2 + b^2 = c^2
\]


\[
(x - r)^2 + x^2 = (x + r)^2
\]

Expandindo:

\[
(x^2 - 2xr + r^2) + x^2 = x^2 + 2xr + r^2
\]

Simplificando:

\[
2x^2 - 2xr = x^2 + 2xr
\]

\[
x^2 = 4xr \quad \Rightarrow \quad x = 4r
\]

Substituindo x = 4:

\[
4 = 4r \quad \Rightarrow \quad r = 1
\]


\[
c = x + r = 4 + 1 = 5 \text{ cm}
\]