Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 107 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(FGV-SP) A, B e C são quadrados congruentes de lado igual a 1 em um mesmo plano. Na situação inicial, os três quadrados estão dispostos de forma que dois adjacentes possuem um lado em comum e outro sobre a reta r. Na situação final, os quadrados A e C permanecem na mesma posição inicial, e o quadrado B é reposicionado, conforme indica a figura.

A menor distância da reta r a um vértice do quadrado B é:

a) [tex3]\frac{2-\sqrt{3}}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3-\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4-\sqrt{3}}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{4-\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: c)

[rcompany]

[tex3]H_1,H_2\text{ as projeções ortogonais de $C$ sobre $AB,ED$}\\
AB=1,\,\angle BAC=30°,\,\angle BCA=90°\implies AC=AB\cdot\cos30°=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ e }BC=AB\cdot\sin30°=\frac{1}{2}\\
\angle ABC=180-\angle BCA-\angle BAC=180-90-30=60°\\
\angle ABC=60°,\,\angle EH_1B=90°\implies H_1C=BC\cdot\sin(\angle ABC)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\\
(H_1H_2)\parallel(AE),(AH_1)\parallel (EH_2)\implies H_1H_2=AE=1\\
CH_2=H_1H_2-CH_1=1-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4-\sqrt{3}}{4}\\
\\\fbox{$\quad$resposta c$\quad$}[/tex3]