Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 111 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(ITA-SP) Um triângulo ABC tem lados com medidas a=[tex3]\frac{\sqrt3}{2}[/tex3] cm, b = 1 cm e c = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]cm. Uma circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm, é igual a

a)[tex3]\frac{\sqrt{3}+1}{4}[/tex3]
b)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c)[tex3]\frac{\sqrt{3}+1}{3}[/tex3]
d)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
e)[tex3]\frac{\sqrt{3}+2}{4}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: a)

[petrasMOD]

[tex3]1^2 = (\frac{1}{2})+(\frac{\sqrt3}{2}) \implies 1 = \frac{1}{4}+\frac{3}{4} \therefore 1 = 1\\
\therefore b^2 = a^2+c^2 \implies \triangle ABC_{ret}[/tex3]
Assim, sendo x a medida, em centímetros, do raio da circunferência ex-inscrita ao triângulo ABC, tangente ao lado a e tangente aos prolongamentos dos lados b e c, nos pontos U e T, respectivamente, como AT = AU, tem-se:
[tex3]c+x =b+(a-x) \leftrightarrow x= \frac{a+b-c}{2} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac{1}{2}}{2} = \boxed{\frac{\sqrt3+1}{4}} [/tex3]
a)

(Solução:Objetivo)