Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 135 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UF-RS) Os lados de um terreno triangular têm medidas diferentes, as quais, em certa ordem, formam uma progressão geométrica crescente. O conjunto dos possíveis valores da razão dessa progressão é o intervalo

a) [tex3]\left(\frac{-\sqrt5+1}{2},\frac{\sqrt5+1}{2}\right)[/tex3]
b) [tex3]\left(\frac{\sqrt5-1}{2},\frac{\sqrt5+1}{2}\right)[/tex3]
c) [tex3]\left(1,\frac{2\sqrt5-1}{2}\right)[/tex3]
d) [tex3]\left(1,\frac{\sqrt5}{2}\right)[/tex3]
e) [tex3]\left(1,\frac{\sqrt5+1}{2}\right)[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: e)

[rcompany]

[tex3]r \text{ a razão, $a$ o lado menor}\\
r>0\text{ ou teriamos lados nulos ou negativos}\\
r>1\text{ já que a sequência é crescente}\\
\text{desigualdade triangular: } a+ar>ar^2\implies ar^2-ar-a<0\\
ar^2-ar-a=a(r-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(r-\frac{1-\sqrt{5}}{2})\\\\
\therefore ar^2-ar-a<0\implies \left\{\begin{array}{l}\frac{1-\sqrt{5}}{2}<r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\\text{ou}\\r>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ e }r<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{ impossível}\end{array}\right.\\
\therefore r\in\left[1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[


[/tex3]

[guuigo]

[tex3]r \text{ a razão, $a$ o lado menor}\\
r>0\text{ ou teriamos lados nulos ou negativos}\\
r>1\text{ já que a sequência é crescente}\\
\text{desigualdade triangular: } a+ar>ar^2\implies ar^2-ar-a<0\\
ar^2-ar-a=a(r-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(r-\frac{1-\sqrt{5}}{2})\\\\
\therefore ar^2-ar-a<0\implies \left\{\begin{array}{l}\frac{1-\sqrt{5}}{2}<r<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\\text{ou}\\r>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ e }r<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{ impossível}\end{array}\right.\\
\therefore r\in\left[1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[


[/tex3]

Por que foi analisada apenas uma inequação referente aos lados? Não deveriam ser analisadas as três?