Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 143 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(ITA-SP) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se [tex3]\beta [/tex3] for o ângulo EÂD, determine tg [tex3]\beta [/tex3] em função da razão r da progressão.

Resposta

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Gabarito: tg[tex3]\beta =\frac{r^2}{2-r}[/tex3]

[petrasMOD]

Sendo AB = BC = x e BC, BD, DE e EC, nesta ordem, termos de uma progressão geométrica decrescente de razão r, temos: BD = xr , DE = xr² e EC = xr³

[tex3]\mathsf{\triangle ABD: tg\alpha = \frac{xr}{x} = r\\
\triangle ABE: tg(\alpha+\beta) = \frac{xr+xr^2}{x}\leftrightarrow \frac{t\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha.tg\beta}=r+r^2\\
\therefore \frac{r+tg\beta}{1-rtg\beta}=r+r^2 \implies tg\beta = \frac{r^2}{1+r^2+r^3}(I)\\
x = xr + xr^2 + xr^3 \implies r^2 + r^3 = 1 – r(II)\\
DE(I)e(II):tg \beta = \frac{r^2}{1+(1-r)}=\boxed{\frac{r^2}{2-r}}}[/tex3]

(SOluçõa:Objetivo)