Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 147 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UF-PE) Na ilustração abaixo, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se [tex3]\angle OP A [/tex3]= 30°,[tex3]\angle POA[/tex3] = 30°, [tex3]\angle OPB[/tex3] = 45° e OP = (31 3) km, calcule AB em hectômetros.

Resposta

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Gabarito: AB = 20 hm

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
T.Senos: \triangle APO: \frac{3+\sqrt3}{sen 120^o } = \frac{AP}{sen30^o }\\
\frac{3+\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}AP \implies AP = \frac{3+\sqrt3}{\sqrt3} = \sqrt3+1\\

AH \perp AP (H \in AP) \implies cos60^o =\frac{AH}{x} \implies AH = \frac{x}{2}\\
sen60^o =\frac{BH}{x} \implies BH =\frac{\sqrt3x}{2}\\
\triangle PHB_{(isosc)} \implies BH = PH = \frac{\sqrt3x}{2}\\
AP = AH + PH \therefore \cancel{\sqrt3+1} = \frac{x}{2}+\frac{\sqrt3x}{2} = \frac{x(\cancel{1+\sqrt3)}}{2}\\
\therefore \boxed{x = 2 km = 20 hm}







}[/tex3]