Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 167 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

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(UF-PE) Na figura abaixo, (l) é a distância entre os vértices (A) e (B) de um polígono regular estrelado, inscritível em uma circunferência de raio (r). Qual o lado (l') do pentágono regular do qual pode ser recortado um polígono estrelado semelhante?

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0-0) [tex3]l´ = \frac{2l}{\sqrt{4-l^2}}[/tex3]
1-1) [tex3]l' = \frac{1}{2}(\sqrt{4r^2-l^2})[/tex3]
2-2) [tex3]l' = \frac{2lr}{\sqrt{4r^2-l^2}}[/tex3]
3-3) [tex3]l' = \frac{lr}{\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-l^2}}[/tex3]
4-4) [tex3]l'=\frac{lr}{s}[/tex3](Onde (s) é a apótema do polígono regular circunscrito ao polígono estrelado.)

Resposta

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Gabarito: F;F.V;V;V

Foi feita a correção do enunciado conforme a questão original onde a igualdade do lado esquerdo deveria ser l' e não r

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Sendo o polígono estrelado regular, admite uma circunferência circunscrita de raio (r). Pelo ponto (C), meio do arco (ABC), é possível traçar uma tangente (EF), limitada pelos prolongamentos dos raios (AO) e (OB), respectivamente. (AB) e (AF) são paralelas e a reta (EF), ou l, é o lado que se tem que calcular.
Os triângulos (EFO) e (ABO) são semelhantes. Logo, [tex3]\frac{r}{s} = \frac{l´}{l}=[/tex3] e [tex3]\boxed{l´=\frac{rl}{s}}[/tex3]
(s) é a apótema do pentágono regular circunscrito ao polígono estrelado.
[tex3]s^2 = r^2 – (\frac{l^2}{4}) \implies s^2 = \frac{1}{2}\sqrt{4r^2−l^2}[/tex3]
[tex3]\therefore \boxed{l'=\frac{2lr}{\sqrt{4r^2-l^2}}}[/tex3]
Supondo r igual à unidade, [tex3]\boxed{l'=\frac{2l}{\sqrt{4-l^2}}}[/tex3]
Do exposto, concluímos que:
0-0) Falso. A proposição é verdadeira somente para r = 1.
1-1) Falso. Esta é a fórmula para o cálculo da apótema do pentágono regular.
2-2) Verdadeiro. Como demonstrado acima.
3-3) Verdadeiro. Expressão anterior à exemplificação do ítem 2-2.
4-4) Verdadeiro. Como demonstrado acima, por semelhança de triângulos.
(Solução:UFPE)