Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 278 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(Unifesp-SP) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, de ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes.

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Se AB = 12 cm, a área comum aos dois triângulos, em centímetros quadrados, é igual a:
a) 6
b) 4[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) 6[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
d) 12
e) 12[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: e)

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{ AC \cap BD = M\\
MN \perp AB (N \in AB)\\
\triangle AMN: tg 30^o = \frac{MN}{6} \implies MN= 2\sqrt3\\
S_{ABM} = \frac{AB.MN}{2} = \frac{12.2\sqrt3}{2} = \boxed{12\sqrt3}} [/tex3]
e)

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[rcompany]

[tex3]
E\text{ ponto de intersecção de $(AC)$ e $(BD)$}\\
\angle BAC= \angle DBA=30°\implies EA=EB\text { e } AH=BH=6\text{ com H pé da altura oriunda de E em $\triangle ABE$}\\
\tan30°=\frac{EH}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}\implies EH=\frac{6}{\sqrt{3}}\\

S(AEB)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{36}{\sqrt{3}}=12\sqrt{3}



[/tex3]