Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 335 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(UE-RJ) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central [tex3]\theta [/tex3] é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.
Sabendo que o ângulo [tex3]\theta [/tex3] satisfaz a igualdade tg [tex3]\theta [/tex3] = 2[tex3]\theta [/tex3], calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ.

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Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{ A_{OQP}=\frac{(QP).(OP)}{2}\\
tgθ=\frac{QP}{OP}⇒QP=OP.tgθ)\\
\therefore A_{OQP}=\frac{(OP.tgθ).(OP)}{2}=\frac{(OP)^2.tgθ}{2}=\frac{R^2.2θ}{2}\\
2\pi : \pi R^2\\
\theta: A_{AOC}\\
A_{AOC} = \frac{\theta.\pi R^2}{2\pi} = \frac{R^2\theta}{2}\\
\frac{A_{AOC}}{A_{OQP}} = \frac{\frac{R^2\theta}{2}}{\frac{R^22\theta}{2}} = \boxed{\frac{1}{2}}
}
[/tex3]

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