Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 336 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

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(UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três circunferências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm.

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Calcule a área A da região do triângulo, em cm², limitada pelas três circunferências e indique 10A.
Dado: Use as aproximações [tex3]\pi [/tex3] = 3,14 e arctg 0,75 = 0,64.

Resposta

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Gabarito:1,9 cm² (Gabarito errado do livro:19)

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O triângulo em questão é retângulo.
Se a, b e c são os raios das circunferências,
a + b = 6
a + c = 8
b + c = 10.
2a+2b+2c = 24 portanto a + b + c = 12
a = 12 – 10 = 2,
b = 12 – 8 = 4,
c = 12 – 6 = 6.
As circunferências têm raios 2 cm, 4 cm e 6 cm.
O ângulo agudo do triângulo, oposto ao cateto que mede 6 cm, tem tangente [tex3]\frac{6}{8} = 0,75[/tex3] e mede 0,64 radianos.
O outro ângulo agudo mede [tex3]\frac{3,14}{2} – 0,64 = 0,93[/tex3] radianos.
A área procurada mede a área do triângulo menos a área ds 3 setores.
A área de um setor circular em radianos é calculada pela fórmula: [tex3]A = \frac{1}{2} * r^2 * θ,[/tex3] onde 'r' é o raio e 'θ' é o ângulo central em radianos.
[tex3]A = \frac{6.8}{2} –\frac{ 0,64.6^2}{2} – \frac{0,93.4^2}{2} – \frac{3,14.2^2}{2.2} = \boxed{1,9cm^2} [/tex3]