Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 340 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

(ITA-SP) As retas r₁ e r₂ são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo [tex3]\omega [/tex3]. A reta r₁ tangencia [tex3]\omega [/tex3] no ponto A e a reta r₂ intercepta [tex3]\omega [/tex3] nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida do arco [tex3] \overset{\LARGE{\frown}}{AC} [/tex3] é 60º e PA mede [tex3]\sqrt{2}[/tex3] cm. Determine a área do setor menor de [tex3]\omega [/tex3] definido pelo arco [tex3]\overset{\LARGE{\frown}}{AB}[/tex3].

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{2\pi}{9} cm^2[/tex3]

[petrasMOD]

De acordo com o enunciado, a medida do arco [tex3] \overset{\LARGE{\frown}}{AB}= 180° – 60° = 120°. [/tex3] Assim, a medida do ângulo APB é dada por: [tex3]\alpha = \frac{ \overset{\LARGE{\frown}}{AB}- \overset{\LARGE{\frown}}{AC}}{2}=\frac{120-60}{2} = 30^o\\
\triangle APO_{(ret)}:tg\alpha =\frac{ AO}{AP}\implies \frac{\sqrt3}{3} = \frac{AO}{\sqrt2} \therefore AO =\frac{\sqrt6}{3}\\
S = \frac{120^o }{360^o}.\pi.AO^2 = \frac{1}{3}.\pi.(\frac{\sqrt6}{3})^2 = \boxed{\frac{2\pi}{9} cm^2}
[/tex3]
(Solução:Objetivo)