Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 345 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

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(Unicamp-SP) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura a seguir, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.

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a) Determine a área da região destacada (em azul) na figura.
b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{25\pi}{2} cm^2[/tex3]

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a)A região destacada é formada por 2 semicírculos de raios 3cm e 4cm;
[tex3]\frac{1}{2}.\pi.4^2+\frac{1}{2}.\pi.3^2 = \boxed{\frac{25\pi}{2}}[/tex3]

b) O 1^o arco tem raio 1cm; o 2^o arco, 2cm; e assim sucessivamente até o 20^o arco, cujo raio mede 20cm.
C = [tex3]\frac{1}{2} [2π ⋅ 1 + 2π ⋅ 2 + … + 2π ⋅ 20] = π + 2π + … + 20π (P.A)\\
S = \frac{(π + 20π).20}{2} =\boxed{ 210\pi}[/tex3]