Vol. 09 - Geometria Plana FME 2013 ⇒ 346 - FME 09 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

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(UF-GO) Seguindo as instruções de uma planta residencial, um mestre de obras construiu um jardim em formato de setor circular, representado por ACD na figura a seguir.

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Considere que o raio AD mede 4 m e o ângulo central  mede 30°. Como precisava calcular a área do jardim, o mestre de obras utilizou uma aproximação por meio do seguinte processo: construiu dois triângulos, ABC e ADE, como mostra a figura, e calculou a média aritmética de suas áreas. Considerando os dados apresentados, calcule, em m², a diferença entre a área do setor circular ACD e a aproximação encontrada pelo mestre de obras.
Dados: [tex3]\pi [/tex3] = 3,14; [tex3]\sqrt{3}[/tex3] = 1,73

Resposta

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Gabarito: 0,15m²

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
\triangle ABC: cos30^o = \frac{AB}{4} \implies AB = 2\sqrt3\\
S_{\triangle ABC} (S_1)= \frac{1}{2}.2\sqrt3.4 =.sen30^o = 2\sqrt3\\
\triangle ADE: tg30^o = \frac{DE}{4} \implies DE = \frac{4\sqrt3}{3}\\
S_{\triangle ADE}(S_2) = \frac{4.\frac{4\sqrt3}{3}}{2} = \frac{8\sqrt3}{3}
\\
\frac{S_1+S_2}{2} =\frac{1}{2}(2\sqrt3+\frac{8\sqrt3}{3})=\frac{1}{2}.\frac{14\sqrt3}{3} = \frac{7\sqrt3}{3}\\
S_{(setor)} = \frac{\pi r^2}{12} = \frac{\pi.4^2}{12} = \frac{4\pi}{3}\\
\therefore \frac{4\pi}{3} - \frac{7\sqrt3}{3} = \frac{4.3,14-7(1,73)}{3} =\frac{0,45}{3} = \boxed{0,15}

}[/tex3]