Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 007 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se tem os pontos consecutivos U, N, I tal que UN - NI = 44. Calcular o triplo do comprimento do segmento que tem por extremos o ponto "N" e o ponto médio do segmento que se forma ao unir os pontos médios de UN e NI

Resposta

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Gabarito: 33

[petrasMOD]

Seja UN = a
Seja NI = b
a - b = 44.

M₁ é o ponto médio do segmento UN. Portanto, [tex3]M_1N = \frac{UN}{2} = \frac{a}{2}[/tex3].
M₂ é o ponto médio do segmento NI. Portanto, [tex3]NM_2 = \frac{NI}{2} = \frac{b}{2}[/tex3].

O segmento que tem por extremos os pontos médios de UN e NI é M₁M₂. Seu comprimento é a soma dos segmentos intermediários:
[tex3]M_1M_2 = M_1N + NM_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}[/tex3].

O ponto M é o ponto médio do segmento M₁M₂. A posição de M em relação a N depende dos comprimentos a e b.

A distância de M₁ a M é a metade do comprimento de M₁M₂:
[tex3]M_1M = \frac{M_1M_2}{2} = \frac{a+b}{4}.
[/tex3]
Como a - b = 44, (a > b).
[tex3]\frac{a}{2} > \frac{a+b}{4}[/tex3] ou seja, a distância M₁N é maior que a distância M₁M. Portanto, o ponto M está localizado entre M₁ e N.

[tex3]NM = M_1N - M_1M = \frac{a}{2} - \frac{a+b}{4}\\NM = \frac{2a - (a+b)}{4} = \frac{2a-a-b}{4} = \frac{a-b}{4}\\a-b = 44\\
\therefore NM = \frac{44}{4} = 11 \implies 3 \times NM = 3 \times 11 = \boxed{33}[/tex3]