Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 010 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico calcular o tamanho do segmento que tem por extremos o ponto R e o ponto médio do segmento cujos extremos são pontos médios dos segmentos DR e RO respectivamente.
Se:[tex3] DR - RO = 31x^{123}+\frac{1}{8x^{111}}+x^3-\frac{1}{8x^3} \wedge x^2+x+1=0[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 8

[petrasMOD]

x^2+x+1=0. Multiplicando ambos os lados por (x-1), obtemos:[tex3](x-1)(x^2+x+1)=0[/tex3]
[tex3]\therefore x^3-1=0 \implies x^3=1[/tex3]
Portanto
[tex3]x^{123} = (x^3)^{41} = 1^{41} = 1\\
x^{111} = (x^3)^{37} = 1^{37} = 1\\
x^3 = 1\\
x^{-3} = \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1} = 1
[/tex3]
Substiuindo em DR-RO:
[tex3]DR - RO = 31(1) + \frac{1}{8(1)} + 1 - \frac{1}{8(1)}\\DR - RO = 31 + \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{8}\\
DR - RO = 32
[/tex3]

Seja o ponto R na posição 0.

O ponto médio do segmento DR está entre D e R. Como D está à esquerda de R, a posição desse ponto médio é negativa, e seu valor é [tex3]\frac{-DR}{2}[/tex3].
O ponto médio do segmento RO está entre R e O. Como O está à direita de R, sua posição é positiva, e seu valor é [tex3]\frac{RO}{2}[/tex3].

Para encontrar a posição do ponto médio entre esses dois novos pontos, calculamos a média de suas posições:

[tex3]\frac{-\frac{DR}{2} + \frac{RO}{2}}{2} = \frac{\frac{RO - DR}{2}}{2} = \frac{RO - DR}{4}\\
[/tex3]
A distância de R até esse ponto é o valor absoluto dessa posição, que é [tex3]\frac{|RO - DR|}{4}, ou \frac{|DR - RO|}{4}. \therefore \frac{32}{4} = \boxed{8}[/tex3]