Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 012 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se marcam os pontos consecutivos J, O, S, E, P, H de tal maneira que E é ponto médio de SP, JS = SP e OE = EH. Calcular: [tex3]R = (\frac{JO^2+OP^2}{JS^2+PH^2})^3[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 8

[petrasMOD]

E é o ponto médio de SP. Podemos definir SE = EP = a. Consequentemente, SP = SE + EP = 2a.
JS = SP. Como SP = 2a, então JS = 2a.
OE = EH. Podemos definir OE = EH = b.

OS = OE - SE.
Como O = b e SE = a, temos OS = b-a.
JO = JS - OS.
Como JS = 2a e OS = b-a, temos JO = 2a - (b-a) = 3a - b.
OP = OE + EP.
Como OE = b e EP = a, temos OP = b+a.
PH = EH - EP.
Como EH = b e EP = a, temos PH = b-a.
JS = 2a.

A fórmula a ser calculada é:
[tex3]R = \left(\frac{JO^2 + OP^2}{JS^2 + PH^2}\right)^3[/tex3]Substituindo as expressões que encontramos:
[tex3]R = \left(\frac{(3a - b)^2 + (b + a)^2}{(2a)^2 + (b-a)^2}\right)^3[/tex3]

Numerador:
[tex3](3a-b)^2 + (b+a)^2 = (9a^2 - 6ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2)\\
= 10a^2 - 4ab + 2b^2\\
= 2(5a^2 - 2ab + b^2)[/tex3]
Denominador:
[tex3] (2a)^2 + (b-a)^2 = 4a^2 + (b^2 - 2ab + a^2)\\
= 5a^2 - 2ab + b^2
[/tex3]
[tex3]
R = \left(\frac{2(\cancel{5a^2 - 2ab + b^2})}{\cancel{5a^2 - 2ab + b^2}}\right)^3[/tex3]
[tex3]\therefore R = (2)^3 = \boxed{8}[/tex3]