Pré-Vestibular ⇒ (UFPE-99)- Funções Tópico resolvido

[K1llua]

Seja [tex3]f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] dada por [tex3]f(x)=\frac{1-2x}{x^2-x}[/tex3]
Analise as afirmações:
0-0) [tex3]f[/tex3] é injetora
1-1) [tex3]f[/tex3] não tem raízes no intervalo [tex3](0,1)[/tex3]
2-2) A imagem de [tex3] f[/tex3] não contém [tex3]1[/tex3]
3-3) [tex3] f [/tex3] é bijetora
4-4) [tex3] f(x)<0 [/tex3] se e só se [tex3] x>1/2[/tex3]

Gabarito:

Resposta

---

VFFFF

Olá, como posso verificar as afirmações 0-0 e 3-3?

[rcompany]

[tex3]
0-0)\\

\mathcal{D}_f=]0;1[\\

f'(x)>0\text{ em }]0;1[\implies (x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2))\\
\text{i.e. }f\text{ injetora: todos os elementos de $\mathcal{D}_f$ tem imagens distintas}
\\3-3)\\

f\text{ contínua em }]0;1[,\,\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\,\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty\implies \forall y\in\mathbb{R},\,\exists x\in ]0;1[\,\mid y=f(x) \\
\text{i.e. }f\text{ sobrejetora: todos os elementos de $\mathbb{R}$ são imagens de um elemento de $\mathcal{D}_f$}


[/tex3]

[K1llua]

[tex3]
0-0)\\

\mathcal{D}_f=]0;1[\\

f'(x)>0\text{ em }]0;1[\implies (x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2))\\
\text{i.e. }f\text{ injetora: todos os elementos de $\mathcal{D}_f$ tem imagens distintas}
\\3-3)\\

f\text{ contínua em }]0;1[,\,\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\,\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty\implies \forall y\in\mathbb{R},\,\exists x\in ]0;1[\,\mid y=f(x) \\
\text{i.e. }f\text{ sobrejetora: todos os elementos de $\mathbb{R}$ são imagens de um elemento de $\mathcal{D}_f$}


[/tex3]

Obrigado pela resposta! Eu ainda não estudei cálculo, então alguns conceitos são confusos para mim. É possível verificar de outra forma?

[rcompany]

Obrigado pela resposta! Eu ainda não estudei cálculo, então alguns conceitos são confusos para mim. É possível verificar de outra forma?

0-0:
Pode mostrar que [tex3]\forall x,a\in ]0;1[, f(x)=f(a)\implies x=a[/tex3]
ou seja resolver [tex3]\frac{1-2x}{x^2-x}=\frac{1-2a}{a^2-a}[/tex3] para [tex3]x[/tex3] em função de [tex3]a[/tex3]
e chegar na conclusão que [tex3]x=a[/tex3]
3-3:

Resolva [tex3]y=\frac{1-2x}{x^2-x}[/tex3] para [tex3]x[/tex3] em função de [tex3]y[/tex3], e mostre que sempre tem solução em [tex3]]0;1[[/tex3]


Dá para fazer, porém é bastante cálculo quando o simples estudo da derivada, da continuidade e dos limites permite concluir.