Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 013 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma linha reta se marcam os pontos consecutivos P , U, N, A tal que : PU x NA = 7 x PA x UN e
[tex3]\frac{7}{PU}+\frac{1}{PA}=\frac{k}{PN}[/tex3]. Resolver em[tex3]\mathbb{R}^+[/tex3]se:
[tex3]\sqrt {x^2+1}+\sqrt{ y^2+4}+\sqrt{z^2 +9}-2 = x+y+z = k[/tex3]
Dar o valor de : 9xyz

Resposta

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Gabarito: 128

[petrasMOD]

PU x NA = 7 x PA x UN [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\frac{NA}{PA \times UN} = \frac{7}{PU}[/tex3]
Substitundo esta relação na segunda equação:
[tex3]\frac{NA}{PA \times UN} + \frac{1}{PA} = \frac{k}{PN}\\
\frac{NA + UN}{PA \times UN} = \frac{k}{PN}[/tex3]
UN + NA =UA:
[tex3]\frac{UA}{PA \times UN} = \frac{k}{PN} \implies
k = \frac{UA \times PN}{PA \times UN}[/tex3]
UA = UN + NA
PN = PU + UN
PA = PU + UN + NA
[tex3]
k = \frac{(UN + NA)(PU + UN)}{(PU + UN + NA)UN}\\
k = \frac{PU \cdot UN + PU \cdot NA + UN^2 + UN \cdot NA}{PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA}\\
k = \frac{(PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA) + PU \cdot NA}{PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA} = 1 + \frac{PU \cdot NA}{PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA}[/tex3]

PU . NA = 7 . PA . UN.
PA = PU + UN + NA
PU . NA = 7(PU + UN + NA)UN = 7(PU . UN + UN² + UN . NA)
Substituindo [tex3]k = 1 + \frac{7(PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA)}{PU \cdot UN + UN^2 + UN \cdot NA} = 1 + 7 = \boxed{8}[/tex3]
[tex3]
\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+4} + \sqrt{z^2+9} - 2 = k \implies \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+4} + \sqrt{z^2+9} =10[/tex3]
x+y+z = 8


Para quaisquer números reais x, y, z e constantes [tex3]c_1, c_2, c_3[/tex3]:
[tex3]\sqrt{x^2+c_1^2} + \sqrt{y^2+c_2^2} + \sqrt{z^2+c_3^2} \ge \sqrt{(x+y+z)^2 + (c_1+c_2+c_3)^2}[/tex3]
A igualdade nesta expressão só é verdadeira se as razões entre os números forem proporcionais: [tex3]\frac{x}{c_1} = \frac{y}{c_2} = \frac{z}{c_3}.[/tex3]

Vamos aplicar este princípio ao nosso problema.
As equações dadas são:
[tex3]\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+4} + \sqrt{z^2+9} = 10[/tex3]
x+y+z = 8

Vamos verificar a desigualdade:
O lado esquerdo é a soma das raízes: [tex3]\sqrt{x^2+1^2} + \sqrt{y^2+2^2} + \sqrt{z^2+3^2} = 10.[/tex3]
O lado direito é a raiz da soma dos termos: [tex3]\sqrt{(x+y+z)^2 + (1+2+3)^2} = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10.[/tex3]
Como ambos os lados da desigualdade são iguais a 10, a condição de igualdade é satisfeita. Isso significa que as razões entre os números devem ser proporcionais:
[tex3]\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}[/tex3]
y = 2x
z = 3x
x + 2x + 3x = 8
[tex3]6x = 8 \implies x = \frac{4}{3}\\
y = 2\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}\\
z = 3\left(\frac{4}{3}\right) = 4\\
9xyz = 9 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{8}{3}\right) \cdot 4\\\therefore 9xyz = = \boxed{128}[/tex3]