Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 019 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico, calcular a seção aurea de LM
( LI > IM ) se LM é a seção aurea de LA.
Sendo: [tex3]x^{\sqrt x+1-x} = \sqrt[x]{\frac{(1+x)(2-\sqrt x)}{4-x}}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: 1

[petrasMOD]

A chave para resolver esta equação é notar que uma solução válida a torna igual a 1 em ambos os lados
Vamos simplificar o lado direito e encontrar o valor de x que faz com que a base seja 1:
[tex3]\sqrt[x]{\frac{(1+x)(2-\sqrt{x})}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}} = \sqrt[x]{\frac{1+x}{2+\sqrt{x}}}[/tex3]
Para que o lado direito seja 1, sua base deve ser igual a 1:[tex3]\frac{1+x}{2+\sqrt{x}} = 1\\
1+x = 2+\sqrt{x} \implies x - \sqrt{x} - 1 = 0\\
\therefore \sqrt x = \frac{1+\sqrt5}{2}=\varphi \implies x = \varphi^2 [/tex3]

LI é a parte maior da seção áurea de LM, então LI=[tex3]\frac{LM}\varphi [/tex3]
​LM é a seção áurea de LA, então LM=[tex3]\frac{LA}{\varphi }[/tex3]

Combinando as duas equações, temos:
[tex3]LI = \frac{1}{\varphi} \cdot \frac{LA}{\varphi} = \frac{LA}{\varphi^2}[/tex3]
O problema assume que o comprimento de LA é o valor de x encontrado na equação.
Substituindo LA=x=φ²
LI=[tex3]\frac{φ^2}{φ^2}[/tex3] =1
O comprimento da seção áurea de LM é 1.