Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 018 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Do gráfico, calcular a seção aurea da seção aurea de LA
( LM > LA ). Se: [tex3]\sqrt[2x]{x+1} = x^{x-1}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{\sqrt5-1}{2}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\sqrt[2x]{x+1} = x^{x-1} \implies (x+1)^{\frac{1}{2x}} = x^{x-1}[/tex3]
Se assumimos que x+1=x²
Substituindo:[tex3] (x^2)^{\frac{1}{2x}} = x^{x-1}\\x^{\frac{2}{2x}} = x^{x-1} \implies x^{\frac{1}{x}} = x^{x-1}[/tex3]
Como as bases são iguais (x), os expoentes também devem ser:
[tex3]\frac{1}{x} = x-1\implies 1 = x^2-x \therefore x^2-x-1=0[/tex3]
A solução positiva desta equação quadrática é [tex3]x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3], que é a razão áurea, [tex3]\varphi.[/tex3]

A seção áurea de LA é [tex3]\frac{LA}{\varphi}[/tex3].
A seção áurea desse novo segmento é [tex3]\frac{\frac{LA}{\varphi}}{\varphi} = \frac{LA}{\varphi^2}.[/tex3]
x da equação corresponde ao comprimento do segmento LA, ou seja, LA = x.
Substituindo o valor de [tex3]x=\varphi [/tex3]:
[tex3]\frac{LA}{\varphi^2} = \frac{x}{\varphi^2} = \frac{\varphi}{\varphi^2} = \frac{1}{\varphi}[/tex3]
Portanto[tex3] \frac{1}{\varphi} = \boxed{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex3]