Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 022 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se determinam segmentos consecutivos de comprimentos
[tex3]\frac{1}{1.2.3}; \frac{1}{2.3.4}; \frac{1}{3.4.5}; \frac{1}{4.5.6}; \frac{1}{5.6.7}; ...[/tex3]
e assim sucesivamente. Calcular a soma limite de seus comprimentos

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

[petrasMOD]

os comprimentos dos segmentos formam uma série infinita, onde o termo geral pode ser representado por:
[tex3] \frac{1}{n(n+1)(n+2)},[/tex3] e pode ser reescrito da seguinte forma:

[tex3]\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)[/tex3]

Soma dos primeiros N termos [tex3](S_N)[/tex3]:
[tex3]
S_N = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1 \cdot 2} - \cancel{\frac{1}{2 \cdot 3}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{2 \cdot 3}} - \cancel{\frac{1}{3 \cdot 4}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{3 \cdot 4}} - \frac{1}{4 \cdot 5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N(N+1)} - \frac{1}{(N+1)(N+2)}\right) \right][/tex3]

Perceba que todos os termos intermediários se anulam. O que resta é apenas o primeiro e o último termo de cada par:

[tex3]S_N = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(N+1)(N+2)} \right][/tex3]
[tex3]
S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{(N+1)(N+2)} \right][/tex3]

À medida que N cresce, o termo [tex3]\frac{1}{(N+1)(N+2)} [/tex3] tende a zero.

[tex3]S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - 0 \right] \implies \boxed{S = \frac{1}{4}}[/tex3]