Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 023 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma linha reta se consideram pontos consecutivos P₀, P₁. P₂. P₃. P₄, P₅, P₆... e assim indefinidamente, sendo : [tex3]P_0P_1=\frac{1}{7};P_1P_2=\frac{1}{7};P_2P_3=\frac{37}{7^3};P_3P_4=\frac{175}{7^4};P_4P_5=\frac{781}{7^5};P_5P_6=\frac{3367}{7^6};... [/tex3] assim sucessivamente.
Calcular o limite da soma de todas os comprimentos dos segmentos assim formados.

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{7}{12}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]a_n = \frac{4^n - 3^n}{7^n}[/tex3]

Este padrão é consistente para todos os termos, a partir de n=1:
1º termo (n=1):[tex3] a_1 = \frac{4^1 - 3^1}{7^1} = \frac{1}{7}[/tex3]
2º termo (n=2): [tex3]a_2 = \frac{4^2 - 3^2}{7^2} = \frac{16 - 9}{49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}[/tex3]
3º termo (n=3): [tex3]a_3 = \frac{4^3 - 3^3}{7^3} = \frac{64 - 27}{343} = \frac{37}{343}
[/tex3]
Assim, a soma infinita dos comprimentos é a soma da série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n - 3^n}{7^n}.[/tex3]

[tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{7}\right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^n[/tex3]

Soma de uma PG infinita,[tex3] S = \frac{a}{1-r}[/tex3].

Para a primeira PG*
[tex3] a = \frac{4}{7}\\r = \frac{4}{7}.\\
S_1 = \frac{\frac{4}{7}}{1 - \frac{4}{7}} = \frac{\frac{4}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{4}{3}[/tex3]

Para a segunda PG:**
[tex3] a = \frac{3}{7}\\r = \frac{3}{7}\\
S_2 = \frac{\frac{3}{7}}{1 - \frac{3}{7}} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4}[/tex3]

A soma total da série é a diferença entre as duas somas:

[tex3]S = S_1 - S_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 9}{12} = \boxed{\frac{7}{12}}[/tex3]