Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 020 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma linha reta se marcam os pontos consecutivos P₀, P1, P2, P₃, P₄, P₅, P₆... e assim sucessivamente sendo P₀P₁ = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3], P₁P₂=[tex3]\frac{3}{8}[/tex3], P₂P₃ = [tex3]\frac{5}{48}[/tex3], P3P4 = [tex3]\frac{7}{384}[/tex3]... assim sucessivamente. Calcular o limite da soma dos comprimentos dos segmentos consecutivos assim formados

Resposta

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Gabarito: 1

[petrasMOD]

O limite da soma dos comprimentos é a soma da série infinita [tex3]S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.[/tex3]

Numeradores: A sequência dos numeradores 1, 3, 5, 7, .... Esta é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 2. O n-ésimo termo é 2n-1.

Denominadores: A sequência dos denominadores é 2, 8, 48, 384, .... Cada termo é o produto do anterior por um número par consecutivo:
8 = 2 . 4
48 = 8 . 6
384 = 48 . 8
Podemos expressar o n-ésimo denominador como o produto de todos os números pares até 2n:
[tex3]D_n = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n) = 2^n(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) = 2^n \cdot n![/tex3]

Termo Geral da Série
[tex3]a_n = \frac{2n-1}{2^n n!}[/tex3]

[tex3]2n-1 = (2n) - 1\\a_n = \frac{2n - 1}{2^n n!} = \frac{2n}{2^n n!} - \frac{1}{2^n n!} = \frac{2n}{2^n n(n-1)!} - \frac{1}{2^n n!}\\
a_n = \frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} - \frac{1}{2^n n!}[/tex3]
Agora, a série é da forma [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1}), onde ~b_n = \frac{1}{2^{n-1}(n-1)!}.[/tex3]

A soma parcial dos primeiros N termos da série é:
[tex3]_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{2^{n-1}(n-1)!} - \frac{1}{2^n n!} \right)[/tex3]
Ao expandir a soma, os termos intermediários se cancelam:
[tex3]S_N = \left( \frac{1}{2^0 0!} - \cancel{\frac{1}{2^1 1!}} \right) + \left( \cancel{\frac{1}{2^1 1!}} - \frac{1}{2^2 2!} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2^{N-1}(N-1)!} - \frac{1}{2^N N!} \right)\\
S_N = \frac{1}{2^0 0!} - \frac{1}{2^N N!} = 1 - \frac{1}{2^N N!}[/tex3]

[tex3]S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^N N!} \right)[/tex3]
À medida que N cresce, o denominador 2^N N! tende a infinito, então a fração [tex3]\frac{1}{2^N N!} [/tex3]tende a zero.
[tex3]\therefore \boxed{S = 1 - 0 = 1}[/tex3]