Pré-Vestibular ⇒ progressão aritmética Tópico resolvido

[ric94626]

Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 23/30
Gab 2,6,10 ou 10, 6,2

Nao entendi a parte do mmc com os inversos!

[ProfLaplace]

Se são três números em PA, podemos escrevê-los como [tex3](x-r,x,x+r).[/tex3]
Como a soma é 18, segue que [tex3]x-r+x+x+r=18 \Rightarrow x=6.[/tex3]
Então a PA é [tex3](6-r,6,6+r).[/tex3]
A outra condição nos diz que
[tex3]\frac{1}{6-r}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+r}=\frac{23}{30} \Rightarrow \frac{1}{6-r}+\frac{1}{6+r}=\frac{23}{30}-\frac{1}{6}=\frac{3}{5}.[/tex3]
Para somar as duas frações da esquerda, precisamos colocá-las num mesmo denominador.
Mas não há como fazer o MMC "normal" com os números [tex3]6-r[/tex3] e [tex3]6+r.[/tex3]
Nesse caso, como estamos trabalhando com letras, usamos uma alternativa: usamos o produto dos dois valores como novo denominador. Isto é, o denominador comum será [tex3](6-r)(6+r).[/tex3] Este método alternativo também funciona com com "números normais" (sem letra), porém normalmente, para números normais, normalmente acaba sendo menos vantajoso que fazer o tradicional MMC.
E para achar os novos numeradores, use a regra habitual: "divida [tex3](6-r)(6+r)[/tex3] pelo antigo denominador e multiplique pelo antigo numerador". Assim teremos:
[tex3]\frac{1\cdot (6+r)}{(6-r)(6+r)}+\frac{1\cdot(6-r)}{(6-r)(6+r)} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{12}{(6-r)(6+r)}=\frac{3}{5}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow (6-r)(6+r)=20 \Rightarrow 36-r^2=20 \Rightarrow r^2=16 \Rightarrow r=\pm4.[/tex3]
Se [tex3]r=4[/tex3] a PA será [tex3](2,6,10).[/tex3]
Se [tex3]r=-4[/tex3] a PA será [tex3](10,6,2).[/tex3]