Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 025 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sobre uma reta se determinam segmentos consecutivos de comprimentos: 1 , 1 , [tex3]\frac{3}{4} , \frac{1}{2} , \frac{5}{16} , \frac{3}{16}[/tex3] , ... e assim sucessivamente.
Calcular a soma limite de seus comprimentos

Resposta

---

Gabarito: 4

[rcompany]

[tex3]
(u_n),\,n\in\mathbb{N}\text{ a sequência dos comprimentos}\\
(u_n)\text{ sequência linear recorrente de ordem 2, com }u_{n+2}=u_{n+1}-\frac{1}{4}\cdot u_n\text{ e }u_n=\frac{1+n}{2^n}\\
\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^0}\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{2}}\implies \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=2\\

\sum_{k=0}^n\frac{n}{2^n}=2\sum_{k=0}^n\frac{n}{2^n}-\sum_{k=0}^n\frac{n}{2^n}=(1+1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+...+\frac{2\cdot n}{2^n})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+...+\frac{n}{2^n})\\
=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})+...+(\frac{2n}{2^n}-\frac{n-1}{2^{n-1}})+\frac{n}{2^n}\\
=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}\\
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=2\\
\lim_{n\to\infty}n=\lim_{n\to\infty}2^n=+\infty\text{ e }\lim_{n\to\infty}\frac{n'}{(2^n)'}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln2\cdot 2^n}=0\implies \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0\quad\text{(regra de l'Hôpital)}\\
\therefore \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n}{2^n}=2+0=2\\
\therefore \sum_{n=0}^{\infty}u_n=2+2=4

[/tex3]

[petrasMOD]

Outra maneira
[tex3]
1, 1, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{16}, \frac{3}{16}, \dots[/tex3]

O termo geral, [tex3]a_n,[/tex3] desta série é dado por:
[tex3]
a_n = \frac{n}{2^{n-1}}[/tex3]

1º termo (n=1): [tex3]a_1 = \frac{1}{2^{1-1}} = \frac{1}{2^0} = 1[/tex3]
2º termo (n=2): [tex3]a_2 = \frac{2}{2^{2-1}} = \frac{2}{2^1} = 1[/tex3]
3º termo (n=3):[tex3] a_3 = \frac{3}{2^{3-1}} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}[/tex3]
4º termo (n=4):[tex3] a_4 = \frac{4}{2^{4-1}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, a soma limite é a soma da série infinita[tex3] S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}.[/tex3]

A série é uma série aritmético-geométrica.

[tex3]S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + \dots\\
\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \dots\\
S - \frac{1}{2}S = \left(1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \dots\right) - \left(0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \dots\right)\\
\frac{1}{2}S = 1 + \left(\frac{2}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{4}{8} - \frac{3}{8}\right) + \dots\\
\frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots[/tex3]

A expressão do lado direito é uma progressão geométrica infinita. A soma de uma PG infinita é [tex3]S = \frac{a}{1-r}[/tex3], onde o primeiro termo (a) é 1 e a razão [tex3](r) =\frac{1}{2}.[/tex3]

A soma da PG é:
[tex3]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2[/tex3]

Agora, substituímos este valor na nossa equação:
[tex3]\frac{1}{2}S = 2\\
S = 2 \times 2 \implies \boxed{S = 4}[/tex3]