Linhas Retas e Ângulos - 2008 - Vol. 1 ⇒ 027 - Retas e Ângulos - 2008 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Seja [tex3]\theta [/tex3] a medida de um ângulo obtuso, com a condição
3 x S [[tex3] \underbrace{CCCC ... C}_{2n~vezes}[/tex3] [tex3]\theta [/tex3] ] = [tex3]\underbrace{SSSS. . . S}_{n+3~vezes}[/tex3][tex3]\theta [/tex3] onde "n" é um número inteiro e positivo.

Resposta

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Gabarito: 135^o

[petrasMOD]

Complemento (C): A aplicação repetida de C um número par de vezes resulta no próprio ângulo.
Suplemento (S): A aplicação repetida de S um número par de vezes resulta no próprio ângulo. A aplicação um número ímpar de vezes resulta no suplemento do ângulo ($180^\circ - \theta$).

[tex3]3 \times S[ \underbrace{CCCC...C}_{2n \text{ vezes}} \theta ] = \underbrace{SSSS...S}_{n+3 \text{ vezes}} \theta[/tex3]

Lado esquerdo: O complemento é aplicado 2n vezes. Como n é um número inteiro e positivo, 2n é sempre um número par. Portanto, [tex3]\underbrace{CCCC...C}_{2n \text{ vezes}} \theta = \theta.[/tex3]
O lado esquerdo se torna: [tex3]3 \times S(\theta) = 3(180^\circ - \theta).[/tex3]

Lado direito: O suplemento é aplicado n+3 vezes. O resultado depende da paridade de n.
Se n for par: n+3 será um número ímpar, e o resultado é [tex3] (\theta) = 180^\circ - \theta.[/tex3]
Se n for ímpar: n+3 será um número par, e o resultado é o próprio ângulo, [tex3]\theta.[/tex3]

Caso 1: n é um número par
[tex3]3(180^\circ - \theta) = 180^\circ - \theta\\
540^\circ - 3\theta = 180^\circ - \theta \implies \theta = 180^\circ[/tex3]

A condição do problema é que [tex3]\theta[/tex3] seja um ângulo obtuso, ou seja,[tex3] 90^\circ < \theta < 180^\circ.[/tex3] Como [tex3]180^\circ[/tex3] não está nesse intervalo, esta solução é inválida.

Caso 2: n é um número ímpar
[tex3]3(180^\circ - \theta) = \theta\\ 4\theta = \frac{540^\circ}{4} \implies \boxed{\theta = 135^\circ}[/tex3]
[tex3]90^\circ < 135^\circ < 180^\circ.[/tex3]